Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к ее решению:

 2=2¹

 8=2³

16=2⁴

Удобство использования этих чисел состоит в том, что эти числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и наоборот несложен и выполняется простым способом механическим способом.

Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичную форму достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующим трехразрядным (четырехзначным) двоичным числом, при этом отбрасывают ненужные нули в старших разрядах.

Пример 1.9. Число 137,45₈ перевести в двоичную систему счисления:

Перевод осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры (триадой):

1	3	7	4	5
001	011	111	110	101

То есть 137,45₁₀=001011111,110101₂=101111,100101₂

И наоборот, заменой каждой триады слева и справа от запятой эквивалентным значением восьмеричной цифры, образуется восьмеричное число. Если в крайней слева и справа триаде окажется меньше трех двоичных чисел, то эти тройки дополняются нулями.

Пример 1.10. Число 5F,94₁₆ перевести в двоичную систему счисления:

Перевод осуществляется заменой каждой шестнадцатеричной цифры четырехзначным двоичным числом (тетрадой):

5	F	9	4
0101	1111	1001	0100

То есть 5F,94₁₆=01011111,10010100₂=1011111,10010100₂

Пример 1.11. Число А=191₁₀ перевести в двоичную систему счисления различными способами:

191	2
-190	95	2
1	-94	47	2
	1	-46	23	2
		1	-22	11	2
			1	10	5	2
				1	-4	2	2
					1	-2	1
						0

1) А₁₀    А₂

 

А2=1011111112

 

2) А₁₀    А ₈    А₂

191	8
-184	23	8
7	-16	2
	7

 

А₈=277₈=010111111₂

3)  А₁₀    А ₁₆    А₂

 

191	16
-176	11(B)
15(F)

 

 

 

 

А₁₀=BF₁₆=010111111₂

Перевод чисел из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную систему исчисления.

Этот перевод осуществляется непосредственным применением закона(1.1.)

Пример 1. 12. Число 1011.01101₂ перевести в десятичную систему счисления:

Пример 1.13. Число 1101001₂ перевести в десятичную систему счисления через восьмеричную систему счисления:

1) Представим исходное число в виде:

2) Выполним перевод в десятичную систему счисления через восьмеричную систему счисления:

3) Выполним перевод в десятичную систему счисления через шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичная арифметика

Арифметические операции в позиционных системах счисления осуществляются в соответствии с таблицей:

+	0	1				0	1
0	0	1			0	0	0
1	1	102(переносим 1 в следующий разряд)			1	0	1

Например,

Сложение и вычитание чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах

Сложение чисел в этих системах производится аналогично сложению в десятичной системе, имея в виду, что в каждом разряде числа может быть не более семи (пятнадцати) единиц.

Пример 1.14. Сложить в восьмеричной системе следующие числа:

Пример 1.15. Сложить в шестнадцатеричной системе следующие числа:

    

 

Проверьте

Знаете ли Вы:	Умеете ли Вы:
Что такое система счисления? Способ записи чисел в пози-циионной системе счисления. Что такое двоичная арифметика? Что такое восьмеричная ариф-метика? Как перевести двоичное число в десятичное через восьмиричную систему счисления? Как перевести двоичное число в десятичное через шестнад-цатеричную систему счисления?	1. Перевести число из одной системы счисления в другую. 2. Перевести целое число из десятичной системы счисления в двоичную. 3. Перевести число с дробной частью из десятичной системы счисления в двоичную. 4. Складывать, вычитать, умножать и делить числа в двоичной арифметике. 5. Складывать, вычитать, умножать и делить числа в шестнадцатеричной арифметике.