Перевод целых десятичных чисел в любую другую позиционную систему счисления.

Существует общее правило перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием p другую систему счисления с основанием q. Допустим, что число X из системы с основанием p требуется перевести в другую систему счисления с основанием q. Перевод осуществляем по следующему правилу: Целое число делим на основание q. Полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целого числа с новым основанием q. Результат деления вновь делим на основание q. Остаток от деления будет второй младшей цифрой целого числа с основанием q. Эти действия повторяются до тех пор не получим частное меньшее делителя. Это частное будет старшей цифрой числа с основанием q.

Перевод десятичного числа производится путем последовательного деления числа на основание  с выделением остатков до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Выписывая остатки от деления справа на лево, получаем -ичную записьдесятичного числа.

Пример 1.1. Переведем число 123 в восьмеричную систему счисления. В скобках указан остаток от деления. Алфавит восьмеричной системы .

 

123	8
-120	15	8
3	-8	1
	7

   

 

Пример 1.2. Перевод числа в двоичную систему.

	53	2
	-52	26	2
	1	-26	13	2
		0	-12	6	2
			1	-6	3	2
				0	-2	1
5310=1101012					1

А₁₀=53

 

 

Пример 1.3. Перевод числа в восьмеричную систему.

А₁₀=65

65	8
-64	8	8
1	-8	1
	0

65₁₀=101₈

 

Пример 1.4.

44	8
-40	5
4

А₁₀=44

             44₁₀=54₈

 

Пример 1.5. Перевод в шестнадцатеричную систему. Алфавит шестнадцатеричной системы .

А₁₀=48

 

48	16
-48	3
0

            48₁₀=30₁₆

Пример 1.6.

А₁₀=225

225	16
-224	14(Е)
1

 

         225₁₀=Е1₁₆

 

Из примера следует, что перевод десятичного числа в двоичное число проще выполнять через шестнадцатеричную систему счисления.

    1.3. Перевод действительных (с дробной частью) десятичных чисел.

Перевод правильной десятичной дроби производится путем последовательного умножения на основание системы с выделением целой части произведений до тех пор, пока в дробной части не получится 0 или не выделится период. Выписывая целые части слева на право, получаем -ичную запись дроби, Если число смешанное, то обе операции выполняются отдельно и затем оба результата записываются вместе через запятую.

Пример 1.7. Перевод в двоичную систему счисления правильной десятичной дроби:

Пусть имеем дробное десятичное число В < 1. Требуется определить двоичную дробь, то есть в соответствии с (1.1.)

B= b_-12^-1+b_-22^-2+…= ,где

b_-1,b_-2… b_-i - двоичные цифры (0 или 1).

Эти двоичные цифры дробного числа определяем следующим образом:

a) умножаем заданное число B на 2, определяем целую часть числа 2  (это будет первая цифра b_-1 ) и дробную часть B_1.

б) умножаем B₁ на 2, снова отделяем целую часть от 2  (это будет вторая цифра

 b_-2) и дробную часть B₂и т.д.

  Пример 1. B₁₀ = 0,31. Найти B_6.

и т.д.

Ответ: 0,31₁₀=0,010011…₂.

Пример 2. B₁₀=0,25. Найти B_2.

Ответ: 0,25₁₀=0,01₂.

 

Пример1.8. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления десятичное число 12,15₁₀.

1)

12	2
-12	6	2
0	-6	3	2
	0	-2	1
		1

   a) перевод целой части

12₁₀=1100₂

     б) перевод дробной части

период

период          0,1510=0,00(1001)2

 

A₂=1100,00(1001)₂

2)

а) перевод целой части

12	8
-8	1
4

12₁₀=14₈

        

 

 б) перевод дробной части

период          0,15₁₀=0,1(1463)₈

 

A₈=14,1(1463)₈=001100,001001100110011…₂ =1100,00(1001)₂

3)

a) перевод целой части

12₁₀=С₁₆

       b) перевод дробной части

   период          0,15₁₀=0,2(6)₁₆

A₁₆ = С,2(6)₁₆ = 1100,001001100110011…₂ = 1100,00(1001)₂

Пример. Переведем число 123,1875 в восьмеричную систему счисления. В скобках указан остаток от деления.