Преимущества операторного метода

 

1.Решение дифференциальных уравнений заменяется решением алгебраических

2.Отсутствует этап определения постоянных интегрирования. Начальные условия включаются непосредственно в систему уравнений.

3. Более высокая формализация расчета.

 

Прямое преобразование

Для перехода к изображению используется односторонне преобразование Лапласа.

 

Функции, которые могут быть преобразованы по Лапласу.

1.

        

 

 

По определению принимаем, что преобразование Лапласа применимо с момента t(0+)

2.Рассмотриваемые функции должны быть функциями ограниченного роста.

                                

 

Свойства преобразования Лапласа:

1.

Умножению оригинала на постоянную величину соответствует умножение изображения на ту же постоянную.

2.  

Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.

Эти два свойства показывают, что преобразования Лапласа являются линейными преобразованиями.

Примеры преобразований:

1)

2)

3)

4)

5) Изображение производной

 

 

6) Изображение интегралов

 

Пр.:

 

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

- Начальные условия ненулевые

После коммутации:

Для каждой составляющей этого уравнения найдем изображение:

   

Переход от оригинала к изображениям превращает дифференциальное уравнение в алгебраическое.

    (1)

Второй закон Кирхгофа при ненулевых начальных условиях в операторной форме.

Слагаемое представляет внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии магнитного поля индуктивности в следствии протекания через нее тока i(0-) непосредственно до коммутации.

Слагаемое представляет собой ЭДС, обусловленную запасом энергии электрического поля емкости в следствии наличия напряжения на ней непосредственно до коммутации.

(2)

 

Рассмотрим знаменатель. Для чего сначала определим комплексное сопротивление после коммутации.

Дает нам входное операторное сопротивление цепи.

С учетом этого выражения (2) рассматриваем как закон Ома в операторной форме при ненулевых начальных условиях.

Для нулевых начальных условий учитывая выше изложенное нарисуем схему для изображений после коммутации.

Таким образом для перехода к любым эквивалентным схемам для изображения есть правила.

Пр:

Переход от изображений к оригиналу с помощью формулы разложения.

 

Изображения искомых величин чаще всего получаются в виде рациональных дробей.   (1)

    При этом:

1.n>>m

2.дробь несократимая

3.  корни действительные отрицательные или комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью.

Вывод формулы разложения основывается на представлении (1) в виде суммы простых дробей.

     где - корни

 

Раскроем неопределённость в левой части с помощью правила Лопиталя:

 и т.д.

       

Формула разложения окончательно:

H(p)=0 представляет собой характеристическое уравнение.

Частные случаи формулы разложения.

1)

Пр:

Дано:

 

2)

Пусть полином H(p)=0 содержит m - пар комплексно-сопряженных корней.

 

- любой корень из пары, тогда:

 

Порядок расчета переходных процессов операторным методом.

 

1. Для цепи после коммутации составляем уравнения относительно изображений операторных токов и напряжений.(два способа)

а) Составляем эквивалентные схемы для изображений по которым записываются уравнения с использованием законов электрического тока в операторной форме.

б) Записываются дифференциальные уравнения для мгновенных значений напряжения и тока в цепи после коммутации. Каждой составляющей этих уравнений оригиналу ставится в соответствии изображения записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий.(см.Закон Ома и Кирхгофа в операторной форме).

2. Полученные алгебраические уравнения решаются относительно изображения искомой величины.

3. Осуществляется обратный переход от изображения к оригиналу.

 

Дано:

 

 

  

 

Решаем задачу методом эквивалентного генератора

 

 

, найдём корни

 - совпадает с характеристическим уравнением для данной

                                          цепи

Пусть  - действительные отрицательные неодинаковые корни

 

используем метод преобразования: