Расчет переходных процессов классическим методом.

Расчет переходных процессов классическим методом.

 

Состоит в следующем:

I. Для цепи после коммутации составляется система уравнений для мгновенных значений u и i по законам Ома и Кирхгофа.

Эта система приводится к одному уравнению относительно одной из известных величин.

В качестве таковой удобно выбирать ток в индуктивности или напряжение на емкости, т.к. они удовлетворяют законам коммутации. Исключение интегрального выражения  производится либо путем дополнительного дифференцирования либо заменой емкостного тока на

В итоге (в большинстве случаев) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение, т.е. с правой частью. Порядок дифференциального уравнения соответствует числу мести независимого накопления энергии W индуктивности и емкости.

 

II Решение дифференциального уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

Частное решение i_пр(i_уст) определяется видом функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения и называется принужденной составляющей. Она совпадает с установившимся значением искомой величины после окончания переходного процесса.

 

 - линейное неоднородное уравнение I порядка.

 - определяется видом функции, стоящей в правой части. Общее решение дифференциального уравнения физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях.

Общее решение называется свободной составляющей. Она определяется через постоянные интегрирования а корни характеристического уравнения , где n - порядок дифференциального уравнения.

 

 

Свободная составляющая записывается в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

1. Корни действительные (отрицательные, неодинаковые)

- апериодический переходный процесс.

2.Корни действительные (отрицательные, одинаковые).

- критический переходный процесс.

3.Корни коплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью.

- колебательный переходный процесс.

Определение корней характеристического уравнения:

 

1. В соответствии с однородным дифференциальным уравнением заменить и приравнять к нулю.

2. В цепи после коммутации разорвать любую ветвь. Записать комплексное входное сопротивление цепи относительно точек разрыва , заменить jω на р и приравнять .

 

Примерный порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1.Составить дифференциальное уравнение относительно искомой величины (для цепи после коммутации).

2.Представить искомую величину в виде суммы принужденной и свободной составляющей.

3.Найти принужденную составляющую искомой величины.

4.составить характеристическое уравнение и найти его корни.

5.В зависимости от вида корней записать решение для свободной составляющей.

6.Определить независимые начальные условия.

7.вычислить постоянные интегрирования из уравнения для искомой величины (пункт 2) в момент времени t(0+) с использованием независимых начальных условий.

 Примечание: Для цепи с одним накопителем энергии характеристическое уравнение имеет первый порядок и следовательно один корень. Поэтому в пункте 2 свободную составляющую можно сразу записать в виде и пункт 5 опустить.

 

Включение цепи на постоянное напряжение.

Дано:

Найти:    

 

1)

2)

3)

4)   а)

        

 

б)    

          

 - корни не могут быть положительными, т.к. это противоречит

                             физике тока  

5) – опускаем

6)

7)  в момент времени t(0+):            

перепишем свободную составляющую в виде:

 , где  - постоянная времени цепи (интервал, в течении которого свободная составляющая уменьшается в е раз)

рассмотрим физический смысл  :

 - Отсюда видно, что постоянная времени это есть время в течении которого свободная составляющая уменьшается в е раз.

Теоретически длительность переходного процесса равна ∞, за время   свободная составляющая затухает до одного % от своей максимальной величины, т.е. от i_св(0) и переходный процесс можно считать завершенным.

На практике длительность переходного процесса принимают от 3τ до 5τ.

 

 

 

Величина подкасательной для любой точки свободной составляющей всегда равна τ.

 

 

Включение цепи R - C на постоянное напряжение

  Дано:

   Найти:

1)     

           

2)

3)

4)        

          

      

5) -----

6)

7)           

                   при

                             

                  

                  

                                                    

 

Расчет переходных процессов классическим методом.

 

Состоит в следующем:

I. Для цепи после коммутации составляется система уравнений для мгновенных значений u и i по законам Ома и Кирхгофа.

Эта система приводится к одному уравнению относительно одной из известных величин.

В качестве таковой удобно выбирать ток в индуктивности или напряжение на емкости, т.к. они удовлетворяют законам коммутации. Исключение интегрального выражения  производится либо путем дополнительного дифференцирования либо заменой емкостного тока на

В итоге (в большинстве случаев) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение, т.е. с правой частью. Порядок дифференциального уравнения соответствует числу мести независимого накопления энергии W индуктивности и емкости.

 

II Решение дифференциального уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

Частное решение i_пр(i_уст) определяется видом функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения и называется принужденной составляющей. Она совпадает с установившимся значением искомой величины после окончания переходного процесса.

 

 - линейное неоднородное уравнение I порядка.

 - определяется видом функции, стоящей в правой части. Общее решение дифференциального уравнения физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях.

Общее решение называется свободной составляющей. Она определяется через постоянные интегрирования а корни характеристического уравнения , где n - порядок дифференциального уравнения.

 

 

Свободная составляющая записывается в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

1. Корни действительные (отрицательные, неодинаковые)

- апериодический переходный процесс.

2.Корни действительные (отрицательные, одинаковые).

- критический переходный процесс.

3.Корни коплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью.

- колебательный переходный процесс.

Определение корней характеристического уравнения:

 

1. В соответствии с однородным дифференциальным уравнением заменить и приравнять к нулю.

2. В цепи после коммутации разорвать любую ветвь. Записать комплексное входное сопротивление цепи относительно точек разрыва , заменить jω на р и приравнять .

 

Примерный порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1.Составить дифференциальное уравнение относительно искомой величины (для цепи после коммутации).

2.Представить искомую величину в виде суммы принужденной и свободной составляющей.

3.Найти принужденную составляющую искомой величины.

4.составить характеристическое уравнение и найти его корни.

5.В зависимости от вида корней записать решение для свободной составляющей.

6.Определить независимые начальные условия.

7.вычислить постоянные интегрирования из уравнения для искомой величины (пункт 2) в момент времени t(0+) с использованием независимых начальных условий.

 Примечание: Для цепи с одним накопителем энергии характеристическое уравнение имеет первый порядок и следовательно один корень. Поэтому в пункте 2 свободную составляющую можно сразу записать в виде и пункт 5 опустить.

 

Включение цепи на постоянное напряжение.

Дано:

Найти:    

 

1)

2)

3)

4)   а)

        

 

б)    

          

 - корни не могут быть положительными, т.к. это противоречит

                             физике тока  

5) – опускаем

6)

7)  в момент времени t(0+):            

перепишем свободную составляющую в виде:

 , где  - постоянная времени цепи (интервал, в течении которого свободная составляющая уменьшается в е раз)

рассмотрим физический смысл  :

 - Отсюда видно, что постоянная времени это есть время в течении которого свободная составляющая уменьшается в е раз.

Теоретически длительность переходного процесса равна ∞, за время   свободная составляющая затухает до одного % от своей максимальной величины, т.е. от i_св(0) и переходный процесс можно считать завершенным.

На практике длительность переходного процесса принимают от 3τ до 5τ.

 

 

 

Величина подкасательной для любой точки свободной составляющей всегда равна τ.

 

 

Включение цепи R - C на постоянное напряжение

  Дано:

   Найти:

1)     

           

2)

3)

4)        

          

      

5) -----

6)

7)           

                   при