Степень с произвольным показателем

Пусть теперь По определению полагают, что

Если же a > 0, то по определению полагают, что

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пример 1

Вычислить

1)

2)

3)

Решение (Приложение 1)

Пусть a > 0, b > 0, r, s? любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^r + s.

2. a^r: a^s = a^r - s.

3. (a^r) ^s = a^rs.

4. a^r · b^r = (ab) ^r.

5.

Пример 2

Упростите выражения

1)

2)

Решение (Приложение 1)

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x^a, x > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс "Открытая Математика 2.6. Функции и Графики", параграф 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

1. К основным свойствам степенной функции y = x^a при a > 0 относятся:

2. Область определения функции - промежуток (0; + ).

3. Область значений функции - промежуток (0; + ).

4. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

5. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то

6. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

Рисунок 2.2.4.1. Степенная функция y = x^a при a > 0

Рисунок 2.2.4.2. Степенная функция y = x^a при a < 0

К основным свойствам степенной функции y = x^a при a < 0 относятся:

· Область определения функции - промежуток (0; + ).

· Область значений функции - промежуток (0; + ).

· Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

· Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то

· График степенной функции при a < 0 изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

·

·

· если n > k.

· на участке x > 1, если

· на участке 0 < x < 1, если

 

 

Мы знаем, какой смысл имеет выражение, где a ­0, если показатель n — целое число. Например, (–3)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен –3. Число 2–6 означает число, обратное степени 26. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a >0 верно равенство . Например, , так как . Если принять, что равенство имеет место и в том случае, когда — дробное число, то все свойства, верные для целого показателя степени, будут выполняться и для дробного показателя с положительным основанием (это будет доказано на следующих уроках).

 

Определение: Если a >0, – дробное число (m – целое, n – натуральное), то .

 

По определению имеем: Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя:

 

Если – дробное положительное число (m и n – натуральные), то .

 

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как , не имеют смысла. Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: и т. д. Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: как бы оно ни записывалось, результат будет один и тот же. Например: . В общем случае для а >0, m — целого и натуральных n и k получим: .

 

Пример 1	Представим степень с дробным показателем в виде корня:
	а) ; в) ; д) ; б) ; г) ; е) .

 

Пример 2	Представим арифметический корень в виде степени с дробным показателем:
	а) в) д) б) г) е)

 

Пример 3	Укажем допустимые значения переменных в выражениях а) и б) .
	Степень с положительным дробным показателем определена только для неотрицательных оснований, а степень с отрицательным дробным показателем определена только для положительных оснований. Другими словами, основание должно быть положительно, но может равняться нулю при условии, что показатель положителен. а) 3– b 0; b 0. б) a –1>0; a >1.

 

 

Известные свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. Перечислим их:

 

Для любых a >0, b >0 и любых рациональных чисел p и q: (1) (2) (3) (4) (5)

 

Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном примере способ докаазательства этого свойства. Пусть, например, p = , q = . Докажем, что Приведем дроби и к общему знаменателю: Так как и , то по свойству арифметическкого корня имеем: Переходя к степени с дробным показателем, получим: Следовательно, . Но , поэтому Приведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде. Представим рациональные числа p и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями: и , где k и m — целые числа, а n — натуральное число. Тогда Значит, Из свойства (1) следует, что

 

для любого положительного a и любого рационального числа p .

 

Действительно, . Свойство (2) следует из свойства (1) и определеения частного. Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при a >0 и любых рациональных p и q . Пусть и , где l и m — целые, а k и n — натуральные числа. Тогда Значит, . Покажем, что

 

при любом рациональном p и любом натуральном n .

 

Действительно, по определдению степени с дробным показателем и свойству (3) имеем: Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при a >0 и b >0 и любом рациональном p Пусть , где l — целое число и k — натуральное число. Тогда Значит, Свойство (5) можно доказать, представив дробь в виде произведения и применив затем свойство (4).

 

 

Пример 1	Представим в виде степени выражения:
	а) б) в)

 

Пример 2	Представим в виде степени выражение :

 

Пример 3	Вычислим .

 

Пример 4	Найдем значения выражений:
	а) б)

 

 

Степень с рациональным показателем. Выражение аn определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства: am*an=am+n; am:аn=am-n (а≠0); (аm)n = аmn; (ab) n = an*bn; (b≠0); а1=а; а0=1 (а≠0). Отметим также следующее свойство: Если m>n, то аm>аn при а>1 и аm<аn при 0<а<1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20.3, 85/7, 4-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа должна быть равна аm. Действительно, если свойство (ap)q=apq выполняется, то Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число должно быть корнем п-й степени из числа аm. Определение. Степенью числа а>0 с рациональным показателем r= , где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число Итак, по определению (1) Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0r = 0 для любого r>0. Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно. Замечание 2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение arтакже не зависит от формы записи рационального числа r. В самом деле, из свойств корней следует, что Замечание 3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для а<0, то, например, значение равнялось бы , т. е. — 2. Но, с другой стороны, , и поэтому должно выполняться равенство .

Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров