Тема лекции: Моделирование случайных величин. ДСВ. НСВ

План:

1. Разыгрывание ДСВ.

2. Разыгрывание полной группы событий.

3. Разыгрывание НСВ.

Моделирование (разыгрывание) с.в. проводится методом Монте-Карло.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают с.в.Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений x_i с.в.Х, находят их среднее арифметическое  и принимают  в качестве оценки (приближенного значения)  искомого числа а: .

Разыгрывание ДСВ

ПРАВИЛО: Для того, чтобы разыграть ДСВ Х, заданную законом распределения

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

надо:

1. Разбить интервал (0,1) оси Or на n частичных интервалов:

2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_j.

Если r_j попало в частичный интервал , то разыгрываемая величина приняла возможное значение x_i.

ПРИМЕР: Разыграть шесть возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

Х	2	10	18
р	0,22	0,17	0,61

 

Решение:

1. Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с координатами 0,22: 0,22+0,17=0,39 на три частичных интервала:

2. Выпишем из таблицы случайных чисел (приложение) шесть случайных чисел, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05; 0,97; 0,87 (пятая строка снизу).

Случайное число r₁=0.32 принадлежит частичному интервалу , поэтому разыгрываемая ДСВ приняла возможное значение х₂=10; случайное число r₂=0.17 принадлежит частичному интервалу , поэтому разыгрываемая ДСВ приняла возможное значение х₁=2.

Аналогично получим остальные возможные значения.

Итак, разыгранные возможные значения таковы: 10; 2; 18; 2; 18; 18.

 

Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию ДСВ.

ПРАВИЛО: Для того, чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А₁, А₂,…,А_n полной группы, вероятности которых р₁, р₂, …, р_n известны, достаточно разыграть (по правилу для ДСВ) ДСВ Х со следующим законом распределения:

Х	1	2	…	n
р	р1	р2	…	рn

Если в испытании величина Х приняла возможное значение x_i=i_., то наступило событие А_i.

 

ПРИМЕР: Заданы вероятности трех событий: А₁, А₂, А₃, образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,22, р₂=Р(А₂)=0,31, р₃=Р(А₃)=0,47. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий.

 

Решение:

В соответствии с правилом надо разыграть ДСВ Х с законом распределения

Х	1	2	3
р	0,22	0,31	0,47

По правилу для ДСВ разобьем интервал (0,1) на три частичных интервала:

Выпишем из таблицы случайных чисел (приложение) пять случайных чисел, например 0,61; 0,19; 0,69; 0,04; 0,46.

Случайное число r₁=0.61 принадлежит частичному интервалу , Х=3 и, следовательно, наступило событие А₃.

Аналогично найдем остальные события.

Получим последовательность событий: А₃, А₁, А₃, А₁, А₃.

 

Разыгрывание НСВ

Известна функция распределения F(x) НСВ Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений x_i.

Метод обратных функций:

ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы разыграть возможное значение x_i  НСВ Х, зная ее функцию распределения F(x), надо выбрать случайное число r_i, приравнять его функции распределения и решить относительно x_i  полученное уравнение F(x_i)=r_i,

 

Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.

ПРАВИЛО 2: Для того, чтобы разыграть возможное значение x_i  НСВ Х, зная ее плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число r_i и решить относительно x_i  уравнение

, или уравнение ,

где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

 

ПРИМЕР: Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=b/(1+ax)² в интервале (0;1/(b-a)); вне этого интервала f(x)=0.

Решение:

Используем правило 2, напишем уравнение .

Решив это уравнение относительно x_i  , окончательно получим .

 

Контрольные вопросы:

1. Разыгрывание ДСВ. Правило.

2. Разыгрывание полной группы событий. Правило.

3. Разыгрывание НСВ. Правило.

 

Задачи на закрепление материала

 

1. Разыграть шесть возможных значений ДСВ Х, закон распределения которой задан в виде таблицы:

Х	3	5	8
р	0,2	0,3	0,5

 

2. Заданы вероятности трех событий: А₁, А₂, А₃, образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,14, р₂=Р(А₂)=0,26, р₃=Р(А₃)=0,6. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий.

3. Разыграть четыре возможных значения НСВ Х, распределенной равномерно в интервале(6;16).

4. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной с.в. Х, заданной плотностью вероятности f(x)=5 в интервале (0;0,2); вне этого интервала f(x)=0.