Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Методическая разработка

на тему: «Производная и ее приложение»

по дисциплине «Математика»

 

 

План:

 

1. Введение.

2. Понятие производной.

3. Кинематический смысл производной.

4. Геометрический смысл производной.

5. Правило нахождения производной.

6. Правила и формулы дифференцирования.

7. Сложная функция и ее производная.

8. Самостоятельно

 

 

Введение

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Понятие производной

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x -  называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции  в точке  и обозначают :

= x - (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке  и обозначают :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

 

                                         .             

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке , и пишут:

(3).

Число  называется производной функции в точке .

Производная постоянной величины (константы)

 

Производная переменной (аргумента)

 

Производная алгебраической суммы функций

 

 

 

 

Производная произведения функций

 

 

 

 

 

Производная частного функций

 

 

 

 

 

 

Формула дифференцирования показательной функции

 

 

(Использовался известный предел )

В случае , применяя определение натурального логарифма, для числа е получаем формулу:

 

Формула дифференцирования тригонометрических функций

А) синуса

(применялась формула разности синусов и использовался первый замечательный предел: )

 

 

Б) косинуса

 

(применялась формула разности косинусов и использовался первый замечательный предел: )

 

В) тангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

 

Г) котангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

Для нахождения производных логарифмической и обратных тригонометрических функций понадобится теорема о производной обратной функции, так как данные функции являются обратными к показательной и тригонометрическим функциям соответственно.

А) арксинуса

 

Функция , , является обратной к функции , .

По правилу дифференцирования обратной функции

.

Выразим  через :

.

Под корнем следует брать знак «+», потому что  на промежутке  положителен.

Таким образом,

 

Б) арккосинуса

 

Функция , , является обратной к функции , .

 

 

В) арктангенса

Функция , , является обратной к функции , .

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:

Г) арккотангенса

Функция , , является обратной к функции , .

 

Методическая разработка

на тему: «Производная и ее приложение»

по дисциплине «Математика»

 

 

План:

 

1. Введение.

2. Понятие производной.

3. Кинематический смысл производной.

4. Геометрический смысл производной.

5. Правило нахождения производной.

6. Правила и формулы дифференцирования.

7. Сложная функция и ее производная.

8. Самостоятельно

 

 

Введение

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Понятие производной

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x -  называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции  в точке  и обозначают :

= x - (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке  и обозначают :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

 

                                         .             

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке , и пишут:

(3).

Число  называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция   дифференцируема в точке .

Если функция  дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b),  то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).

Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.

 

 

Физический смысл производной

 

Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени и рассмотрим промежуток времени  от момента  до момента . За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим . Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение /  есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие промежутки , устремляя к нулю.

Предел  называется мгновенной скоростью точки в момент времени .

Производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. Производная имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т.д. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной (мгновенная скорость распада радиоактивных веществ, мгновенная мощность, коэффициент сжатия жидкости при данном давлении, угловая скорость в данный момент времени, сила тока, теплоемкость при данной температуре).

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение  есть средняя скорость изменения функции  относительно изменения аргумента х, а  - мгновенная скорость изменения функции  при некотором значении .