Понятия решения ДВ: обычные, обощенные и R-решения

Теоремы  Примеры.

Определение Непрерывная функция , называется решением дифференциального уравнения в паратингенциях (контингенциях), если включение (3.1.1.) (соответственно (3.1.2.)) справедливо для всех  .

Ниже

Определение Абсолютно непрерывная функция  называется обычным решением дифференциального включения (3), если

 

                  (3.2.1.)

 

почти всюду на отрезке

Теоремы существования обычных дифференциальных включений

Дифференциальное включение  с начальным условием  - существует, если выполняется одно из следующих условий:

-непрерывно и -непустое замкнутое подмножество для всех

 

 

) - измеримо

Для почти всех t, для каждой точки х,  имеет замкнутый график и  - выпукло или  в некоторой окрестности х полунепрерывно снизу

Функция - локально интегрально ограничена, т.е. для каждого ограниченного подмножества  существует функция  такая, что  для

) - измеримо.

Для каждого t,  имееет замкнутый график и в каждой точке х, для которой  невыпукло, - полунепрерывно снизу.

 - локально слабо интегрально ограничено, т.е. для каждого ,  - слабо интегрально ограничено для  c функцией .

При выполнении одного из данных предположений, будет существовать хотя бы одно обычное решение включения  на некотором сегменте .

Если же в 3ем предположении заменить последнее условие на более жесткое:

 - слабо интегрально ограничено, т.е. существуют  такая, что для почти всех t и x , то обычное решение дифференциального включения (3) будет существовать на всём .

Теорема Пусть  полунепрерывно сверху по  на  Тогда система соотношений

)   непрерывна на .

)   всюду на .

эквивалентна системе следующих соотношений:

3) абсолютно непрерывна на .

)   почти всюду на .

Определение Непрерывная функция  называется решением уравнения (2), если для почти всех

.

 

Можно сделать следующее утверждение: Пусть  и

)отображение  измеримо по x при каждом фиксированном х;

)отображение  полунепрерывно по х при каждом фиксированном t.

Тогда множество OB(F) совпадает с множеством решений в смысле последнего определения.

Но данное утверждение неверно, а указанная в нём эквивалентность не может быть получена ни при каких условиях, накладываемых на правые части, если решение уравнения в контингенциях понимается в смысле последнего уравнения. Покажем это на примере:

Пусть  Обычным решением включения  является единственная функция  . В качестве решения уравнения в контингенциях в смысле последнего определения можно взять, например, функцию  где  - произвольная константа, а  - непрерывная монотонно возрастающая функция производная которой почти всюду равна 0 и  Построим такую функцию:        Выберем  , зададим по индукции последовательность функций  следующим образом: положим  пусть  определена, непрерывна и линейна на каждом интервале вида , где  ; тогда  мы зададим так, чтобы  равнялось  для ; в средних точках указанных интервалов; т.е. при  , положим   

 

а в интервалах  будем считать  линейной. Определённые таким образом функции  , очевидно, возрастают. Далее,

 

 

поэтому последовательность  сходится к некоторой неубывающей функции . Докажем, что  строго возрастает, непрерывна и

 

 

почти всюду.

Пусть x - какая-нибудь точка интервала [0,1]. Возьмем последовательность вложенных интервалов вида где

 

 

окружающих точку х. Мы имеем, очевидно,

 

 

Так как  , то

 

откуда получаем

 

.

 

Отсюда следует, что

 

и

 

таким образом,  - функция непрерывная и строго возрастающая. Далее, производная  там, где она существует, равна пределу выражения

 

 

при ; но такой предел либо не определён, либо бесконечен, либо, наконец, равен 0. Следовательно  во всех точках, где  существует, т.е. почти всюду.

Тем самым данная функция не является абсолютно непрерывной, а значит не является решением  , т.е. эквивалентности решений нет. Очевидно, что данная функция будет решением любого уравнения в контингенциях в смысле последнего определения при любой правой части, которая содержит точку 0 при всех

Так же очевидно, что

Определение Функция  называется обобщенным решением включения (3), если  и интегральное включение

 (6)

 

справедливо для всех

Обозначим через G(F) множество обобщенных решений включения (3).

Теорема Пусть  - удовлетворяет следующим условиям:

)   - измеримо для всех ;

)   - непрерывно для всех

)  

Тогда OB(F) = G(F).

Следствие Пусть  - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям 1)-3) теоремы.

Тогда OB(conv F) = G(F).

Определение Функция  называется квазирасширением дифференциального включения (3), если существует последовательность функций  такая, что

1)

)  

)   = x(t),

)

Множество квазирешений включения (3) обозначим через Q(F).

Теорема Пусть  - удовлетворяет следующим условиям:

)   - измеримо для всех ;

)   - непрерывно для всех

)  

Тогда

Следствие При предположениях теоремы имеем:

 

Определение Функция  называется римановым решением дифференциального включения (3), если  - интегрируема по Риману и  для всех  

Обозначим через Ri(F) множество всех римановых решений.

Определение Функция  называется классическим решением дифференциального включения (3), если для всех .

Обозначим множество всех классических решений через KL(F).

Непосредственно из определения следует, что .

Теорема Пусть многозначное отображение F(t, x) в каждой точке (t, x) области  удовлетворяет следующим условиям: 1)множество F(t, x) - непусто и замкнутое;

) F(∙,x) - измеримо на D;

)множество F(t, x) - выпукло;

) для любого r > 0 при |x - y| r для почти всех t имеем

 

 (7)

 

где функция  измерима по t и непрерывна по х,

 

.

Пусть при  функция  абсолютно непрерывна, её график содержится в D,  и при почти всех  

где

Тогда для найдётся такое решение  задачи

 

, (8)

 

что

 

(9)

 

при почти всех

 

,

 

 - любое такое, что .

Замечание Если в данной теореме вместо условия 5) выполняется условие Липшица, т.е.

 

 

то от требования 3) можно отказаться, а в (9)

 

 

Функция называется функцией Камке, если она непрерывна по r, измерима по t,  для любого c и при  единственным решением задачи  является функция . Например, если функция  суммируема, то k(t)r - функция Камке

Теорема Пусть многозначное отображение  удовлетворяет следующим условиям:

) множество непустое и замкнутое;

) функция  суммируема;

) функция  измерима по t при каждом фиксированном x;

)  - функция Камке.

Тогда каждое решение включения

cначальным условием  является пределом равномерно сходящейся последовательности решений включения (7).

Теорема Пусть в ограниченной замкнутой области D выполнены следующие условия:

1) множество F(t,x) - невыпуклое и замкнуто

2)

)   - полунепрерывна сверху на D;

)   измерим на D;

)   множество выпукло.

Если все решения (7) на отрезке  существуют и содержатся в D, то множество  таких решений является компактом в пространстве . То же самое справедливо для множества  всех решений со всевозможными начальными условиями  - компакт, . Если К-компакт, К  D. Если К - связный компакт (в частности, если К - точка), то множество связно.

Определение Многозначная функция  называется R-решением, порожденным дифференциальным включением (7), если при каждом t множество R(t) замкнуто, функция R(∙) абсолютно непрерывна и для почти всех t

 

 

Теорема Пусть F(x, t) при каждом t, x - выпуклый компакт и как многозначная функция непрерывна по совокупности переменных. Тогда существует  такое, что на полуинтервале  существует R- решение, попрождённое многозначной функцией F(t,x).

Теорема Пусть F(t,x) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности Тогда при всех , для которых решение  определено и , оно единственно. Более того, имеет место непрерывная зависимость решения от начального множества .

Теорема Пусть  при , где множество  открыто и ограничено и в  функция F(t,x) липшецева. Тогда множество R(t) при  является множеством достижимости в момент t из .

Теорема Для любого компакта  существует R-решение с начальным условием  . Интегральная воронка является графиком R-решения R(∙). Если выполнено условие 5) с функцией Камке , то R- решение с начальным условием  единственно, непрерывно зависит от К и его график  является интегральной воронкой.

Пример

Пусть .

При  отображение  не удовлетворяет условию Липшица.

Пусть  Проверим, что многозначное отображение

 

 

является R - решением дифференциального включения

 

,

 

т.е. удовлетворяет уравнению

 

При  очевидно, что  удовлетворяет (12).

Пусть

 

Пусть

 

 

При  совпадает с интегральной воронкой .

Все остальные соответствующие произвольным значениям , таковы, что

Если

 

 

единственно и совпадает с интегральной воронкой.

 

Выводы

 

Таким образом в курсовой работе изучена теория дифференциальных включений, рассмотрен исторический аспект рассматриваемого объекта, изучены основы многозначного анализа. Для дифференциальных включений рассмотрены различные понятия решения: обычные, обобщенные и R-решения, изучены условия существования и единственности этих решений, рассмотрены примеры.