Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору

ПАРАМЕТРИЧЕСКиЕ УРАВНЕНИя ПРЯМОЙ

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей. Пусть на координатной плоскости заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор

Требуется составить уравнение прямой, параллельной вектору и  проходящей через точку

Решение. Выберем на прямой произволь­ную текущую точку Обозначим - радиус-векторы тчк  

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и   коллинеарны. Это  характеристическое свойство, определяющее нашу прямую.Запишем условие коллинеарности: , где - некоторое действительное число (параметр). Учитывая,что получим векторное параметрическое уравнение пря мой:

где - направляющий вектор прямой, а - радиус-вектор точки, принад­лежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения дает параметри­ческие уравнениям прямой

где - координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях имеет следующий геометрический смысл: величина  пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки Физический смысл параметра в параметрических уравнениях - это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной  точкой при возрастании движение происходит внаправлении, определяемым направляющим вектором .

Выразим параметр  из каждого уравнения системы: , а затем исключим этот параметр:  -Уравнение называется каноническим уравнением прямой. В этом уравнении коэффициенты не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

Замечания. 1. Если один из знаменателей дробей равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю:

каноническое уравнение - это уравнение прямой, параллельной оси орди­нат;

каноническое уравнение - это уравнение ₎ прямой, парал­лельной оси абсцисс

2.Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. На­
пример, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.

Пример2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) перпендикулярно прямой 3 x -4 y +5=0.

Решение. Вектор нормали прямой данной в условии задачи

={3;-4} является направляющим вектором искомой прямой

{3;-4}.Имеем  , 4 x +3 y -23=0.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть на координатной плоскости заданы две точки и

 Требуется составить уравнение прямой, проходящей через за­данные точки.

Решение.Уравнение можно получить из канонического уравнения), выбирая в качестве направляющего вектора вектор

 , т.е. подставляя ,.

Имеем

Пример3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение.O(0;0),х₁ = -2, у₁ =-3; 

Уравнение прямой имеет вид: