Прямая и плоскость в пространстве

Прямая и плоскость в пространстве

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку  на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор  называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая  задана ее точкой  и направляющим вектором . Возьмем на прямой  произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек  и  соответственно через  и . Очевидно, что три вектора ,  и  связаны соотношением

                                          .                                   (10)

Вектор , лежащий на прямой , параллелен направляющему вектору , поэтому , где скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки  на прямой.

Уравнение (10) можно записать в виде

                                           .                                       (11)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что , , , уравнение (11) можно записать в виде

.

Отсюда следуют равенства:

                                                                                  (12)

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

 

Канонические уравнения прямой

Пусть направляющий вектор прямой  и точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку  с произвольной точкой  прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора  и вектора  пропорциональны:

                           .                                 (13)

Уравнения (13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания: 1) Уравнения (13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12), исключив параметр . Из уравнений (12) находим

.

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

Например, уравнения  задают прямую, проходящую через точку  перпендикулярно оси  (проекция вектора  на ось  равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости , и поэтому для всех точек прямой будет .

 

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая  проходит через точки  и . В качестве направляющего вектора  можно взять вектор . Следовательно, , , . Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно уравнениям (13), уравнения прямой  имеют вид

                            .                              (14)

Уравнения (14) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

 

Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

                                                               (15)

Каждое уравнение этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов  и  не пропорциональны), то система (15) определяет прямую  как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Уравнения (15) называют общими уравнениями прямой.

От общих уравнений (15) можно прейти к каноническим уравнениям (13). Координаты точки  на прямой  получаем из системы уравнений (15), придав одной из координат произвольное значение (например, ).

Так как прямая  перпендикулярна векторам  и , то за направляющий вектор  прямой  можно принять векторное произведение :

Замечание: Каноническое уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (14).

Пример.. Написать канонические уравнения прямой , заданной уравнениями

Решение: Положим  и решим систему  Находим точку . Положим  и решим систему  Находим вторую точку  прямой . Записываем уравнение прямой , проходящей через точки  и :

.

Прямая и плоскость в пространстве

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку  на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор  называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая  задана ее точкой  и направляющим вектором . Возьмем на прямой  произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек  и  соответственно через  и . Очевидно, что три вектора ,  и  связаны соотношением

                                          .                                   (10)

Вектор , лежащий на прямой , параллелен направляющему вектору , поэтому , где скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки  на прямой.

Уравнение (10) можно записать в виде

                                           .                                       (11)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.