Оценка значимости разности между средними по наименьшей существенной разности (НСР).

 

Критерий НСР определяет предельную ошибку для разности двух выборочных средних, в пределах которой различия не признаются существенными, и разности находятся в пределах ошибки опыта. НСР определяется, исходя из следующей формулы:

 

,где

 

t – критерий Стьюдента (табличное значение для конкретного числа наблюдений и 

заданного уровня значимости;

s_d – ошибка разности средних (вычисляется по материалам дисперсионного анализа).

 

В оценке существенности различий по НСР исходят из того, что в случае, когда фактическая разность между двумя сравниваемыми средними больше или равна НСР, то такая разность признается существенной, если же фактическая разность между средними меньше НСР, она признается несущественной.

 

ПОРЯДОК ВЫЧИСЛЕНИЙ:

 

1. По данным дисперсионного анализа вычисляют обобщенную ошибку средней для дисперсионного комплекса в целом, которая сама по себе не может быть использована для парного сравнения, поскольку зависит не только от общей численности дисперсионного комплекса, но учитывает и количество групп, входящих в него. В дальнейшем она используется в вычислении D-критерия Тьюки:

 

, где

 

Ϭ²_z – средний квадрат отклонений, вычисляемый в ходе проведения дисперсионного анализа – остаточная дисперсия в дисперсионном комплексе;

n_о – усредненная численность каждой» из сравниваемых групп (классов) в неравномерных дисперсионных комплексах, вычисляется по вышеприведенной формуле; для равномерных комплексов принимается равной численности группы n_{о =} n.

 

2. Вычисляем ошибку разности средних для парного сравнения, которая в общем случае будет иметь вид:

 

, где

 

Ϭ²_z – средний квадрат отклонений, вычисляемый в ходе проведения дисперсионного анализа – остаточная дисперсия в дисперсионном комплексе;

n_о – усредненная численность каждой» из сравниваемых групп (классов) в неравномерных дисперсионных комплексах, вычисляется по вышеприведенной формуле; для равномерных комплексов принимается равной численности группы n_{о =} n.

 

 

3. Вычисляют ошибку разности средних для неравномерных дисперсионных комплексов, в которых численности групп не равны между собой:

 

, где

 

s_d – средняя ошибка разности средних для всего дисперсионного комплекса (разность двух средних вычисляется при их парном сравнении для всех возможных вариантов сопоставления групп объектов данного дисперсионного комплекса, ошибка вычисляется для всего комплекса в целом);

Ϭ²_z – средний квадрат отклонений, вычисляемый в ходе проведения дисперсионного анализа – остаточная дисперсия в дисперсионном комплексе;

n₁ – численностей «первой» из двух сравниваемых групп (классов) дисперсионного комплекса;

n₂ – численностей «второй» из двух сравниваемых групп (классов) дисперсионного комплекса.

 

4. Подставляя значение ошибки разности средних в формулу расчета НСР, получим (в абсолютных и относительных величинах):

 

НСР₀₅ = t₀₅ × s_d                             HCP₀₅% = 100 × (t₀₅ × s_d): M_cp

 

t₀₅  = табличное значение критерия Стьюдента;

s_d   = средняя ошибка разности средних;

M_c = обобщенное среднее значение признака для всего дисперсионного комплекса.

 

Следует отметить, что в практических работах чаще используется абсолютное значение НСР.

 

5. В случае равенства численностей сравниваемых групп, что наблюдается в равномерных дисперсионных комплексах, формула примет более простой вид:

 

, где

 

s_d – средняя ошибка разности средних для всего дисперсионного комплекса (разность двух средних вычисляется при их парном сравнении для всех возможных вариантов сопоставления групп объектов данного дисперсионного комплекса, ошибка вычисляется для всего комплекса в целом);

Ϭ²_z – средний квадрат отклонений, вычисляемый в ходе проведения дисперсионного анализа – остаточная дисперсия в дисперсионном комплексе;

n – численность групп (классов, совокупностей) при реализации равномерной схемы дисперсионного анализа, в которой численности всех групп равны.

 

6. Подставляя значение ошибки разности средних в формулу расчета НСР, также получим (в абсолютных и относительных величинах):

 

НСР₀₅ = t₀₅ × s_d                             HCP₀₅% = 100 × (t₀₅ × s_d): M_cp, где

 

t₀₅  = табличное значение критерия Стьюдента;

s_d   = средняя ошибка разности средних;                       

M_c = обобщенное среднее значение признака для всего дисперсионного комплекса.

 

Следует отметить, что в практических работах чаще используется не процентные, а абсолютное значение НСР, вычисляемое в соответствующих размерных (м, см, кг, г, шт. и т.п.) или безразмерных величинах (при расчете относительных показателей).

 

Вычисленная по данному алгоритму величина s_d является общей для всего равномерного дисперсионного комплекса статистикой. Действительно, в формуле её расчета использованы только обобщенные (для всего равномерного дисперсионного комплекса) величины: σ_z – остаточная (средовая, случайная) дисперсия; n – численность групп при реализации равномерной схемы. Полученная на её основе величина НСР также будет единой и общей для всего равномерного дисперсионного комплекса. Её значение будет использовано для всех случаев парного сравнения и вычисления разности каждого из объектов дисперсионного комплекса с каждым из других.

 

В случае неравенства численностей сравниваемых групп (анализ неравномерного дисперсионного комплекса) прибегают к расчету усредненной численности (n). Такой подход позволяет определять величину НСР, обобщенную для всего анализируемого дисперсионного комплекса. Возможность использования такого критерия оценки существенности различий между выборочными средними некоторого (но вполне определенного) дисперсионного комплекса обусловлена тем, что любые вычисления значений НСР в данном комплексе основаны на единой (общей для всех групп) остаточной дисперсии (σ_z). Это имеет отношение как к вычислению значений НСР при попарном сопоставлении каждого среднего с каждым из остальных, так и к вычислению общего для комплекса значения НСР.

 

 

Задание 1.

 

Рассчитайте величину наименьшей существенной разности (НСР) для равномерного и неравномерного дисперсионных комплексов по дидактическому материалу, предложенному преподавателем.

 

Исходным дидактическим материалом для данной работы служит файл Excel «Коэффициент наследуемости» или «НСР» Лист 1 для равномерных дисперсионных комплексов и Лист 3 для неравномерных дисперсионных комплексов. В них для работы используют собственно исходные таблицы данных и перечень вычисляемых промежуточных и итоговых статистик.

 

Работа предусматривает копирование таблиц в буфер памяти и перенесении их в новую книгу или на новый лист, используемый для работы в первоначальной книге.

Тема 4.2.