A. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Найти неопределённый интеграл.

3. Подставить верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница.

 

 

Пример 1:

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале [0;+∞]. Решаем по формуле:

 

Пример 2  (№ 2338, Демидович):

 

B. Замена переменной

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Ввести замену и преобразовать исходный интеграл согласно формуле.

3. Полученный интеграл вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница (см. предыдущий пункт)

Пример 3:

Знаменатель в подынтегральном выражении не обращается в нуль, подынтегральная функция непрерывна на этой полупрямой.

Удобно сделать замену переменной при помощи равенства t=e^x.

Исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Последний интеграл вычислим при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

C. Внесение функции под знак дифференциала

Алгоритм аналогичен предыдущим, однако вместо замены переменной при поиске первообразной используем метод внесения функции под знак дифференциала.

 

Пример 4:

Функция непрерывна на исследуемом отрезке, найдём несобственный интеграл:

D. Интегрирование по частям

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Применить формулу интегрирования по частям.

3. Вычислить необходимые пределы и несобственные интегралы.

Пример 5:

Подынтегральное выражение позволяет применить метод интегрирования по частям:

 

 

E. Пример несуществования интеграла

Пример 6:

Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует, так как

 

в свою очередь не существует.

2. Бесконечный нижний предел интегрирования:

 

По технике решения данный интеграл практически не отличается от интеграла с бесконечным верхним пределом.

Общий алгоритм:

· найти первообразную (неопределённый интеграл)

· использовать предел при вычислении интеграла

Главное отличие: устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»:

a → – ∞

 

Пример 7:

Подынтегральная функция непрерывна на (– ∞; –3]. Найдём несобственный интеграл, используя уже известные методы и устремив нижний предел к – ∞.

3. Бесконечные пределы интегрирования (и верхний, и нижний):

Главный метод: представить в виде суммы двух несобственных интегралов.

Пример 8 (№ 2336, Демидович):

 

Пример 9:

Представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

Преобразуем подынтегральные выражение с помощью выделения полного квадрата:

Табличный интеграл:

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами: