Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Общее уравнение окружности с центром в (r₀, ) и радиусом a имеет вид:

r²-2rr₀cos(φ -  )+r₀²=a².

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

r(φ)=a

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a.

Рисунок 3 - Окружность, заданная уравнением r(φ)=1

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

φ =θ,

где θ - угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, θ = arctg,m где m - наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую φ =θ в точке (r₀,θ) определяется уравнением

r(φ)=r₀sec(φ-θ).

Полярная роза

Полярная роза - известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

r(φ)=acos(kφ +θ₀)

для произвольной постоянной θ₀ (включая 0). Если k - целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k - рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если k - иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k мы будем иметь k-лепестковую розу. Таким образом, уравнение r(φ)=cos(2φ) будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Рисунок 4 - Полярная роза задана уравнением r(φ)=2sin 4φ

Спираль Архимеда

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

r(φ)=a+bφ.

Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b - расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для φ >0 а другую для φ <0. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Рисунок 5 - Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением r(φ)=φ для 0<θ <6π

Конические сечения

Рисунок 6 - Эллипс

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

где e - эксцентриситет, а l - фокальный параметр. Если e>1, это уравнение определяет гиперболу; если e=1, то параболу; если e<1, то эллипс. Отдельным случаем является e=0, определяющее окружность с радиусом l.

 

Комплексные числа

Рисунок 7 - Пример комплексного числа z, нанесённого на комплексную плоскость

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z может быть записано в прямоугольной форме так:

z=x+iy,

где i - мнимая единица, или в полярной:

z=rcdot (cos φ +isin φ)

и отсюда:

z=re^iφ,

где e - число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны ⁽⁶⁾. (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол φ задан в радианах)

Рисунок 8 - Пример комплексного числа, нанесённого на график, с использованием формулы Эйлера

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

· Умножение:

· Деление:

· Возведение в степень (формула Муавра):

 

В математическом анализе

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты.

Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой r(φ) в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

x=r(φ)cosφ,

y=r(φ)sinφ.

Дифференцируя оба уравнения по φ получим:

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке (r, r(φ)):

Интегральное исчисление

Рисунок 9 - Область R, которая образована полярной кривой r(φ) и лучами φ =a и φ =b

Пусть R - область, которую образуют полярная кривая r(φ) и лучи φ =a и φ =b, где 0<b-a<2π. Тогда площадь этой области находится определённым интегралом:

Рисунок 10 - Область R образована из n секторов (тут n=5)

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал [a,b] на произвольное число подынтервалов n. Таким образом, длина такого подынтервала ∆φ равна b-a (полная длина интервала), разделённая на n (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала i=1, 2, …, nφ_i - средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами r(φ_i), центральными углами ∆φ и длиной дуги r(φ_i)∆ φ. Поэтому площадь каждого такого сектора будет

Отсюда, полная площадь всех секторов:

Если число подынтервалов n увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив n  , полученная сумма станет интегральной. Предел этой суммы при ∆φ  0 определяет вышеописанный интеграл:

Векторный анализ

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле F можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

e_r=(cosφ, sinφ)

в направлении r, и

e_φ =(-sinφ, cosφ);

F =F_re_r+F_φ e_φ.

Связь между декартовыми компонентами поля F_x и F_y и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

F_x=F_rcosφ -F_φ sinφ;

F_y=F_rsinφ +F_φ cosφ.

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля Ф (r, φ) записывается:

 

Трёхмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая - ещё одной угловой координаты.

Цилиндрические координаты

Рисунок 11 - Точка P начертана в цилиндрической системе координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как z, образуя тройку координат (, φ, z).

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

Сферические координаты

Рисунок 12 - Точка начертана в сферической системе координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты θ, равным углу поворота от вертикальной оси z (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка (r, φ, θ), где r - расстояние от центра координат, φ - угол от оси x (как и в плоских полярных координатах), θ - широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта ∆ является дополнением θ и равна ∆ =90° -θ, а долгота l вычисляется по формуле l=φ -180°.

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай n-мерного пространства. Пусть x_i  R, i=1, …, n - координатные векторы n-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в n-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора x  Rⁿ от координатной оси x_i+2.

Для перевода обобщённых n-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

Как можно показать, случай n=2 соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а n=3 - обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

где n-мерный элемент объёма имеет вид:

 

Применение