Цикличность мультипликативной группы конечного поля.

 

Теорема 1. Пусть d – натуральный делитель числа q -1. Тогда число элементов b Î F_q порядка d равно j(d).  

Доказательство. Обозначим через y(d) число элементов в поле F_q, имеющих порядокd. По теореме 1 параграфа 7 d делит q – 1. Так как каждый элемент b Î F_q имеет некоторый порядок, то имеем равенство

.                                               (1)

По теореме 2 параграфа 7 для любого числа d Î N либо y(d) = 0 либо y(d) = j(d). Поэтому в общем случае имеет место неравенство

y(d) £ j(d).                                                    (2)

По свойству функции Эйлера

.                                                (3)

Вычитая равенства (3) и (1) почленно получим

.

В силу (2) отсюда получаем, что для всех d | (q – 1) имеет место равенство

y(d) = j(d).ÿ

Так как (q – 1) | (q – 1), то из теоремы 1 получаем следствие.

Следствие. Тогда число элементов a Î F_q порядка q – 1 равно j(q – 1).   ÿ

Теорема 2. Мультипликативная группа F_q ^* ненулевых элементов конечного поля F_q циклична, т.е существует такой элемент a Î F_q, что

F_q ^*= á a ñ = {1, a, a ², …, a ^{q -1}}.                                (4)

Доказательство. По следствию теоремы в группе F_q ^* существует хотя бы один элемент a элемент порядка q – 1, так как таких элементов имеется              j(q – 1)>0. Тогда по теореме 2 параграфа 7 элементы множества (4) различны и группа F_q ^* , состоящая из q – 1 элементов, исчерпывается этими элементами.ÿ

Пример 1. Каких порядков в поле F ₂₇ существуют элементы и сколько?

По теореме 1 в поле F ₂₇  существуют элементы порядка d | (27 – 1), т.е. d |26 и таких элементов  порядков j(d). Таким образом, в поле F ₂₇ существуют элементы порядков 1, 2, 13, 26 соответственно в количестве j(1) = 1, j(2) = 1, j(13) = 12, j(26) = 12.

Функция Мебиуса и формула обращения Мебиуса

Определение 1. Функцией Мебиуса называется функция m: N ® {-1, 0, 1}, определенная равенством:

Теорема 1. Пусть m, n – натуральные числа. Тогда справедливы свойства:

1⁰ если числа m, n – взаимно простые, то m(m × n) = m(m) m(n);

2⁰                                                                        (1)

Доказательство. 1⁰. Если m =1или n = 1, например, m =1, то

m(m × n) = m(1× n) = m(n) = 1×m(n) = m(m) m(n).

Если m или n делится на квадрат простого числа, например, m делится на квадрат простого числа, то m × n делится на квадрат простого числа и

m(m × n) = 0 = 0×m(n) = m(m) m(n).

Пусть теперь m и n произведения различных простых чисел:

m = p ₁… p_k, n = q ₁… q_l,                                            (2)

Так как числа m и n  взаимно простые, то простые числа, входящие в разложения (2) различные и

m(m × n) = (-1) ^{k + l} = (-1) ^k (-1) ^l = m(m) m(n).

2⁰ Для n =1 равенство (1) верно, так как в левой части формулы (1) стоит одно слагаемое, которое равно 1. Докажем формулу (1) при n >1. Пусть  - каноническое разложение числа n, тогда все делители m числа n имеют вид:

.

Тогда выводим

ÿ

Теорема 2 (теорема обращения Мебиуса). Пусть f и g – функции натурального аргумента. Тогда равенство

                                                  (3)

верно тогда и только тогда, когда

.                                            (4)

Доказательство. Необходимость. Подстановкой (3) в левую часть равенства (4) докажем равенство (4).

так как внутренняя сумма в последнем равенстве, по формуле (1) равна нулю везде, где n / k > 1 и равна 1, если n / k = 1.

Достаточность. Подстановкой (4) в левую часть равенства (3) докажем равенство (3).

так как по формуле (1) внутренняя сумма в последнем равенстве, равна нулю везде, где n / z > 1 и равна 1, если n / z = 1.ÿ