Характеры групп и суммы характеров.

Теорема 1. Пусть X = X _q – группа характеров аддитивной группы поля F = = F_q; c - характер группы X; c₀ – главный характер группы X. Если c¹c₀, c – элемент поля F, то

Доказательство.   Рассмотрим два случая.

1. Пусть с = 0. Тогда c(ca) = c(0) = 1 и

.

2. Пусть с ¹ 0. Тогда, если элемент a пробегает все элементы поля F_q, то элемент ca также  пробегает все элементы поля F_q. Поэтому

.

Так как c¹c₀ , то существует такой элемент d Î F_q, что c(d)¹ 1. Применяя свойства характеров последовательно получим:

.

Так как c(d)¹ 1, то c(d)- 1 ¹ 0 и поэтому

.

Теорема 2. Пусть X = X _q – группа характеров аддитивной группы поля F = = F_q; c - характер группы X; c₀ – главный характер группы X. Если c¹c₀, c – элемент поля F, то

Другими словами

Доказательство. Применяя свойства характеров, получаем

.

Отсюда применяя теорему 1, получаем утверждение этой теоремы.

Теорема 3. Пусть X = X _q – группа характеров аддитивной группы поля F = = F_q; c - характер группы X; c₀ – главный характер группы X. Если c¹c₀, gÎ V_n и V * _n – множество ненулевых векторов пространства V_n, то

Доказательство. Следует из теоремы 2, так как

Пример 1. Пусть . Для любых a, x, y Î Z выполняются свойства:

1)

2)

3) если x º y (mod t), то .

Таким образом,  - характер на аддитивной группе классов ычетов по модулю t.

Теорема 4. Пусть a Î Z. Тогда

Доказательство. Следует из того, что функция   - характер аддитивной группы гласов вычетов по модулю t.

Обозначения.   Пусть

d _{x + n}  = a ₁d _{x+n- 1}+…+ a_{n+ 1}d _{n +1} + a_n d _n;                                 (1)

f (l) = l ⁿ - a ₁l ^{n - 1} - …+ a_n Î F_q [l]

– характеристический многочлен уравнения (1), t = ord f; d - какое-нибудь решение этого уравнения; d⁽⁰⁾, d⁽¹⁾,…, d^{( k )} – все с точностью до сдвига решения уравнения (1); L (f) = {d⁽⁰⁾, d⁽¹⁾,…, d^{( k )}} – множество всех этих решений; c – неглавный характер аддитивной группы поля F = F_q; gÎ V_n; a – целое число; N – натуральное число;

Теорема 5. Пусть t = ord f; d - какое-нибудь решение этого уравнения. Тогда

Доказательство. Пусть t = per d - примитивный период последовательности d. По теореме 1 параграфа 6 t(d) = ord m _d(l). По свойству минимального многочлена m _d(l)| f (l). По определению порядка многочлена, ord f (l) – такое наименьшее натуральное число t, что f (l)| (l ^t – 1). Тогда m _d(l)| (l ^t – 1). Далее t(d) равно такому наименьшему натуральному числу t, что m _d(l)| (l^t – 1). Отсюда t £ t. Докажем, что t | t. Допустим противноe, что t = t q + r, где 0< r < t. Тогда применяя деление с остатком для многочленов получим

l ^t – 1 = (l^t – 1)(l ^{t - t} + l ^{t - 2t} + …+ l ^{t - q t}) + l ^r – 1.

В силу сказанного выше отсюда получаем

m _d(l)| (l ^r – 1).

Последнее равенство, противоречит определению порядка. Следовательно, t = t q и последовательности длины t, ее период укладывается t / t раз. Следовательно,

Теорема 6. Справедливы формулы

1)                                                                                      (2)

2)                                                      (3)

Доказательство. В силу того, что период последовательности целое число раз укладывается на ее отрезке длины t, получаем

.

Отсюда

В силу теоремы 3 параграфа 9

.

Отсюда, используя теорему 1 параграфа 9, получаем

Заметим, что per b = t. По теореме 2 параграфа 10

Поэтому в сумме выше не равны нулю только такие внутренние суммы, где b _x = b _y, т.е. x = y, когда внутренняя сумма равна pⁿ. Последних случаев t. Следовательно,

.

Полагаем в последней сумме a = 0 и получаем

.

Применяем теорему 5

.

Так как per d^{( j )} = t_j, n = deg f, t = ord f, то отсюда находим