Математическое ожидание случайной величины

Как мы знаем, распределение вероятностей случайной величины — это таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности. Для практики не всегда нужно изучать всю таблицу распределения. Достаточно знать некоторые ее числовые характеристики. Рассмотрим случайную величину X. Ее математическое ожидание обычно обозначают Е(Х). Пусть распределение вероятностей случайной величины X задано таблицей:

 

Значение величины X
Вероятность

 

Математическим ожиданием случайной величины X называют число

Е(Х)= х₁ · Р₁ + х₂ · Р₂ + … + х_n · Р_n.

Математическое ожидание Е(Х) называют также ожидаемым значением случайной величины X, средним значением случайной величины X. Если значения случайной величины измеряются в каких-либо единицах (например, рост —в сантиметрах, температура —в градусах), то ее математическое ожидание измеряется в этих же единицах (средний рост —в сантиметрах, средняя температура — в градусах)

Пример 6. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 р., 10 билетов с выигрышами по 100 р. и остальные 89 билетов без выигрышей. Наудачу выбирают один билет. Найдем математическое ожидание выигрыша M (X).

 

Количество билетов	1	10	89
Выигрыш	500 руб.	100 руб.	0 руб
Вероятность	1/100	1/10	89/100

 

Эта случайная величина может принимать три значения: 500 р., 100 р. и 0 р. (нет выигрыша). Их вероятности равны 0,01, 0,10 и 0,89.Математическое ожидание выигрыша равно 500 · 0,01 + 100 · 0,10 + 0 · 0,89 = 15 (р.).Получается, что средний выигрыш на один билет равен 15 р.

Для того чтобы лотерея приносила доход своим устроителям, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш. Предположим, что билет стоит 20 р. Продав все билеты, устроители лотереи получат 2000 рублей.

На выплату выигрышей будет потрачено 1500 рублей.

Таким образом, доход от лотереи составит 500 рублей.

Разумеется, может случиться так, что на один купленный нами билет мы получим большой выигрыш. Но если бы некто решил купить все билеты, то он достоверно потерял бы 500 рублей — по 5 на каждый из 100 билетов.

 Так устроены все лотереи: математическое ожидание выигрыша на один билет меньше цены этого билета.

Это условие является непременным, и оно обеспечивает рентабельность лотереи и доход ее устроителям. Человек, который решил сыграть в лотерею, должен понимать это и сознательно рисковать своими деньгами.

 

Вопросы: (проверьте. Эти определения должны быть у вас в конспекте)

1) С какими фундаментальными понятиями математической статистики вы познакомились? (генеральная совокупность и выборка)

2) Что нужно делать, чтоб обработать собранную информацию?

(Представить в виде выборки или таблицы числовых данных)

3)Каким образом графически можно продемонстрировать итоги обработанной информации?

4) Какие средние характеристики числовых рядов вам известны?

5)Какие характеристики разброса числовых данных вам известны?

Закрепление изученного материал. Решить самостоятельно.

Задача1. В небольшой фирме 10 сотрудников: 7 рабочих, мастер, бухгалтер, директор. Зарплата у рабочих: 2000, у мастера 4000, у бухгалтера 16000, у директора 40000. Найдите, чему будет равна средняя зарплата на этом предприятии?

Задача 2. В таблице приведена информация о длине некоторых рек, протекающих по территории Ивановской области, впадающих в реку Волга

 

Река	Длина (км)
Елнать	54
Кинешемка	34
Казоха	9
Мера	152
Шача	58
Солоница	132
Сунжа	45

 

а)Найдите среднюю длину рек (среднее арифметическое)
б)Найдите длину рек в среднем (медиану данных);
в) Найти размах длины рек.

 

Итак, для характеристики статистической информации используют среднее арифметическое и медиану. Во многих случаях одна из характеристик может не иметь никакого содержательного смысла.

Задача 3. В женском обувном магазине провели статистические исследования и составили соответствующую таблицу по цене обуви и количества продаж:

Цена (руб.)	500	1200	1500	1800	2000	2500
Количество	8	9	14	15	3	1

 

Первый и второй этап статистического исследования уже пройдены: данные собраны и систематизированы. Осталось произвести анализ данных.

Для данных показателей надо найти статистические характеристики и объяснить их значение.

n=

=

Mo= 

Ме=

 

Ответить на следующие вопросы:

1. Из данных ценовых категорий, обувь за какую цену не следует продавать магазину?

2. Обувь, по какой цене следует распространять?

3. К какой цене лучше стремиться?

По каким параметрам еще можно провести статистические исследования в обувном магазине?

Задача 3. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:

5,2 5,4 5,5 5,4 5,1 5,1 5,4 5,5 5,3

Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах, медиану и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое.

Размах R = =

Мода Мо =

Медиана Ме =

Задача 4. Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой – в шести, сравнить по результативности и стабильности в забивании голов, если количество мячей, забитых первым футболистом по сезонам образует ряд: 17,21,20,16,15,19, а вторым: 17,20,18,21,14.

У статистиков есть шутка: средняя глубина озера 0,5 м, а корова все-таки утонула. Как вы понимаете эту фразу?

 

 «В среднем в день ребёнок улыбается 400 раз, взрослый — 17. Теперь все улыбнулись, чтобы испортить статистику»