Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине равны.

Например, даны вектора:

Найдём их сумму, соединяем конец вектора   и начало вектора   (вектор    перемещаем с помощью параллельного переноса):

Решаем нашу задачу:

Суммой векторов и  будет вектор . АС это гипотенуза в прямоугольном треугольнике АСВ. Задача сводится к её нахождению по теореме Пифагора.

Длина вектора  равна 10.

Ответ: 10

 

27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

Немного теории:

Чем отличаются векторы   и  друг от друга?

Они противоположно направлены, их длины равны.

Что такое разность векторов? Например, в нашей задаче необходимо от вектора отнять вектор . Запишем . Это тоже, что найти сумму вектора    и вектора , записывается как

Таким образом, если в задаче требуется найти разность векторов, то необходимо подобным образом преобразовывать их разность в сумму.

          

Задача сводится к нахождению гипотенузы DB  в прямоугольном треугольнике DBA. По теореме Пифагора:

Длина разности векторов и  равна 10.

Ответ: 10

 

27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и .

 

Формула скалярного произведения векторов:

 

Скалярное произведение векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Модуль вектора равен его длине. Значит,

Ответ: 0

27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов   и .

Вектор  равен вектору . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то есть их длины равны, и они одинаково направлены.

Ясно, что сумма векторов:

А длина вектора   равна шести.

Ответ: 6

 

27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

Свойств ромба: диагонали ромба пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам; диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90 градусов).

В данной задаче необходимо найти длину АВ.  

АВ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике АОВ. По теореме Пифагора:

Длина вектора  равна 10.

Ответ: 10

 

27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора

Свойств ромба: диагонали ромба пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам; диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90 градусов).

Длина вектора  это длина диагонали DB, равна 12.

Ответ: 12

 

27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

Свойств ромба: диагонали ромба пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам; диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90 градусов).

Изобразим на эскизе разность векторов:

СВ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике СОВ. По теореме Пифагора:

Длина вектора   равна 10.

Ответ: 10

 

27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов   и .

Формула скалярного произведения векторов: