Решение простейших логарифмических уравнений

Пример 1 – решить уравнение:

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

Таким образом, мы уравняли основания логарифмов. Имеем:

Теперь имеем право приравнять подлогарифмические выражения:

Ответ:

Данное уравнение можно также решить на основании определения логарифма:

Пример 2 – решить уравнение:

Решим на основании определения логарифма:

Учтем ОДЗ:

Поскольку (как основание логаримфа), больше нуля, и выражение под логарифмом всегда больше нуля.

Решаем уравнение. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Разложим многочлен в левой части на множители способом группировки, первый член объединим со вторым, третий с четвертым:

Применим ко второй скобке формулу сокращенного умножения, а именно разности квадратов:

Получаем корни:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

Рассмотрим уравнение, на примере которого в дальнейшем сможем избежать многочисленных типовых ошибок.

Пример 3 – решить уравнение:

Основания всех логарифмов одинаковы, в левой части стоит сумма логарифмов, согласно свойству имеем право преобразовать ее в логарифм произведения:

Необходимо учесть ОДЗ. Чтобы существовал каждый из заданных логарифмов, скобки , и должны быть строго положительны, тогда как после применения свойства произведение будет положительным, если обе скобки будут отрицательны, и новый логарифм будет существовать, но при этом исходный потеряет смысл.

Таким образом, имеем систему:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: .

Решение уравнения с помощью замены переменных

Следующее логарифмическое уравнение сводится к совокупности двух простейших с помощью замены переменных.

Пример 4 – решить уравнение:

Преобразуем так, чтобы уравнять основания логарифмов:

Комментарий: преобразовано согласно формуле

В результате преобразований получили:

Очевидна замена:

Получаем квадратное уравнение:

Согласно теореме Виета имеем корни:

Вернемся к исходным переменным:

Решаем каждое уравнение согласно определению логарифма:

Ответ: или

Итак, мы рассмотрели решение некоторых типовых логарифмических уравнений. Далее мы рассмотрим решение более сложных логарифмических уравнений.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Reshit.ru (Источник).

2. Egesdam.ru (Источник).

3. Math.md (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 512–514;

2. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

3. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;