Образцы решения контрольных работ.

Задание №1

Вычислить А ² - 3 АВ, где

А =                     В =

Решение.

А ² = А ∙ А = ∙  =

(Для получения элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, матрицы А ²перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца этой матрицы, т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы А; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца этой матрицы; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы,и их произведения сложим;

для получения элемента, стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы  А и их произведения сложим и т.д.)=

=

=  =

Аналогичным способом находим произведение матриц А и В:

А ∙ В = ∙  =

=

=  =

Затем находим

3∙ А ∙ В = 3∙ =(чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число)= .

Тогда А ² - 3 АВ =  -  =(чтобы вычесть две матрицы, надо вычесть их соответствующие элементы)=

= .

Задание №2

Решить систему уравнений

 

                                                      (1)

1)  методом Гаусса;

2) по правилу Крамера;

3) матричным способом.

Решение.

1) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу, соответствующую системе (1) и приведем ее к треугольному виду. Для этого запишем расширенную матрицу данной системы:

и  приведем эту матрицу к треугольному виду с помощью элементарнях преобразований, а именно:

- перестановкой строк;

- умножением элементов строки матрицы на число;

- сложение соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов двух строк и помещение сумм этих элементов на место соответствующих элементов одной из складываемых строк.

Чтобы привести матрицу к треугольному виду надо получить нули на месте элементов, стоящих под главной диагональю. Сперва получим нули в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках, т.е. надо изменить вторую, третью, четвертую строки. Так как первая строка не изменяется, изменения в других строках будем производить относительно нее: выберем на главной диагонали неизменяемой строки главный элемент, в нашем примере это 2. Если в столбце, в котором мы хотим получить нули,   имеется 1, то для облегчения счета, строку с1 на первом месте лучше поставить на место первой расширенной матрицы и сделать ее, тем самым, неизменяемой.В нашем примере вторая строка содержит на первом месте 1. Поменяем ее с первой строкой. Эту операцию обозначим следующим образом: С ₂ С ₁,здесь С ₂ – вторая строка,   С ₁ – первая строка, при этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет 1.Обведем его в квадрат.Чтобы получить на месте 2 во второй строке 0, надо каждый элмент первой строки умножить на (-2) и сложить с соответствующим элементом второй строки и их сумму записать на место соответствующего элемента второй строки. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

здесь:= - это оператор присваивания, т.е. значение выражения с правой стороны записывается на место величины, стоящей слева. Получим при этом эквивалентную матрицу

Чтобы получить вместо 3 в третьей строке нуль, проделаем операцию

С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃,

а чтобы получить вместо (-1) в четвертой строке нуль, проделаем операцию

С ₄:= С ₁ + С ₄.

В результате получим эквивалентную матрицу

Теперь нужно получить нули во втором столбце в строках три и четыре, т.е. изменяемыми будут третья и четвертая строки. Выберем главный элемент в неизменяемой строке во втором столбце и который стоит на диагонали (в примере это 3), но среди изменяемых строк имеется строка, в которой во втором столбце стоит 1, поменяем ее со строкой, в которой мы выбрали главный элемент (т.е. надо поменять местами вторую и четвертую строчки)

С ₄   С ₂,

при этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет 1. Заключим его в квадрат.Чтобы получить вместо 5 число нуль, проделаем операцию

С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃,                                 

а чтобы получить вместо 3 нуль, проделаем операцию

С ₄:= -3 С ₂ + С ₄,                            

при этом получим эквивалентную матрицу

Осталось получить нуль в третьем столбце четвертой строки. Главный элемент выбераем в третьем столбце на диагонали (это -22)(так как  изменяемой будет только четвертая строка, и среди изменяемых строк в третьем столбце нет единицы, то -22 и будет главным элементом). Чтобы получить вместо 15 нуль, проделаем следующую операцию

 

С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄,                    

при этом получим эквивалентную матрицу

 

(разделив последнюю строчку полученной матрицы на 41,т.е. С ₄:= С ₄: 41,    

 получим эквивалентную матрицу)

 

 

Запишем по полученной матрице эквивалентную систему уравнений:

 

 

Из последнего уравнения имеем

x ₄ = - 1.

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, получим

- 22 x ₃ -  35∙(- 1) = - 9. Отсюда находим

  

Тогда из второго уравнения получим для x ₂ равенство

x ₂ +3∙2 + 5∙(-1) = 2 или x ₂ = 2 – 6 +5 =1.Аналогично,подставляя найденные значения для x ₂, x ₃ и x ₄ в первое уравнение,получим

x ₁ - 1 + 2∙2 +3∙(-1) = 1 или x ₁ = 1.

Ответ: .