Тема 1. Линейное программирование и линейные

Математические модели

Сравнительно большое число экономических задач сводится к линейным математическим моделям. Традиционно оптимизационные линейные математи­ческие модели называют моделями линейного программирования. При этом под линейным программированием понимается линейное планирование, т.е. получе­ние оптимального плана, который и является решением задачи с линейной стру­к­турой.

В самом общем виде математическая модель задачи линейного программирования записывается следу­ющим образом:

Максимизировать (минимизировать) целевую функцию:

при ограничениях:

Здесь  - управляющие переменные, или решения задачи,     L – целевая функция, или критерий эффективности задачи, остальные величины  - параметры зада­чи.

Очевидно, что как целевая функция, так и все ограничения ли­нейны по управляющим переменным. В приведенной постановке зада­ча содержит n переменных и m ограниче­ний.

Решить задачу линейного программирования – означает найти такие значе­ния управляющих переменных, удовлетворяющих ограни­че­ниям, при кото­рых целевая функция принимает максимальное, или минимальное значение.

Рассмотрим примеры некоторых типичных экономических задач, оптимальное решение которых может быть найдено с помощью построе­ния и расчета соответствующих линейных математических моделей, имеющих вид, приведенный выше.

Задача 1. Планирование производства. Для изготовления различных ви­дов изделий используются разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, ко­личества ресурса каждого типа, затрачиваемого на изготовление одного изделия каждого вида, заданы. Нужно составить план производства изделий, обеспечи­вающий максимальную суммарную прибыль от реализации изделий.

Задача 2. Формирование минимальной потребительской продово­льственной корзины. Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ (вита­минов и калорий). Известен требуемый человеку минимум питательных веществ каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость.

Задача 3. Расчет оптимальной загрузки оборудования. Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на имеющемся оборудовании. Для каждой единицы оборудования заданы: фонд рабочего времени, себестои­мость изготовления единицы продукции каждого вида, а также производитель­ность, т.е. число единиц продукции каждого вида, которое можно произвести в единицу времени. Нужно распределить изготовление продукции между обору­дованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальна.

Задача 4. Раскрой материала. На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными спосо­бами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором сум­марная себестоимость минимальна.

Задача 5. Составление плана реализации товара. Фирма реализует раз­личные товары, используя при этом определенный набор средств (технических, людских, денежных). Общий запас средств, количество средств каждого вида, ис­пользуемых при реализации единицы любого товара и прибыль от его продажи, заданы. Надо сформировать план реализации товаров, приносящий фирме максимальную прибыль.