Линейное уравнение первого порядка

 

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

 

 (1.1.1.)

 

Если , то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение

 

(1.1.2.)

 

приводится к уравнению с разделяющимися переменными

 

,

 

общий интеграл которого имеет вид

 

 (1.1.3)

 

а общее решение -

 

 (1.1.4)

 

где . Очевидно, что частное решение  уравнения (1.1.2), которое мы потеряли, разделив (1.1.1) на , содержится в формуле (1.1.4) при . Поэтому (1.1.4), где - теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнения (1.1.2).

Из (1.1.4), записывая первообразную  в виде определенного интеграла , получим частное решение уравнения (1.1.2), удовлетворяющее начальному условию в виде

 

 (1.1.5)

 

Заметим, что по самому способу построения формула (1.1.5) является доказательством единственности решения начальной задачи для уравнения (1.1.2), в предложении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (1.1.2) и проводя последовательно преобразования (1.1.3) - (1.1.5), мы всегда придём к одному и тому же результату - формуле (1.1.5). Чтобы доказать существование решения данной задачи, достаточно путём достаточно путём непосредственной проверки убедится, что для непрерывной функции  функция , определённая формулой (1.1.5), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (1.1.2). Очевидно, подобные рассуждения можно провести и в случае начальной задачи для уравнения с разделяющимися переменными.

Решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) найдём методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции

 

 

, (1.1.6)

 

где - функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получаем

 

 

откуда

 

.

 

интегрируя это равенство, найдём

 

 

и окончательно

 

. (1.1.7)

 

Из полученного выражения следует, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) представляется в виде суммы общего решения (1.1.4) линейного однородного уравнения (1.1.2) и частного решения неоднородного уравнения (1.1.1), в чём легко убедится, подставив второе слагаемое формулы (1.1.7) в неоднородное уравнение (1.1.1).

Решение начальной задачи  для уравнения (1.1.1) найдём, определяя из начального условия постоянную С₁ в формуле (1.1.7). При этом в качестве первообразных функций, записанных в (1.1.7) в виде неопределённых интегралов, удобно взять определённые интегралы .

 

Тогда  и

т.е.

 (1.1.8)

 

Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения однородного уравнения (1.1.2), удовлетворяющего заданному начальному условию , и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию.

Представление (1.1.8) получено в предложении существования решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи для неоднородного уравнения (1.1.1)

Существование решения начальной задачи для уравнения (1.1.1) при непрерывных функциях  и  устанавливается непосредственно подстановкой формулы (1.1.8) в уравнение и начальное условие.

Замечание. Единственность решения этой задачи можно установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два различных решения начальной задачи  и Рассмотрим их разность . Очевидно, функция является решением начальной задачи для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием

 

 

 

Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для линейного однородного уравнения, следует, что .

Получим важную оценку роста решения начальной задачи для линейного уравнения. Пусть в уравнении (1.1.1) функции  и  на рассматриваемом промежутке изменения независимой переменной удовлетворяют условиям

 

 (1.1.9)

 

Тогда для решения начальной задачи из представления (1.8) для  следует оценка

 

 (1.1.10)

 

В заключении этого пункта укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.

Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли.

 

 

где , иначе уравнение уже линейное. Введём новую неизвестную функцию  тогда уравнение перейдёт в линейное уравнение

 

 

 

общее решение которого даётся формулой (1.1.8).

Более сложное уравнение Риккати

 

 

в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо частное решение уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию

 

 

получим для неё уравнение Бернулли

 

 

что доказывает высказанное утверждение.