Действительные и конечно-разрядные числа

Погрешности

 

Погрешность алгоритмов

 

Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.

Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель  с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если  в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома  третьей степени по схеме Горнера с псевдокодом:

P:=0; j:=3;

repeat

S:=a[j]*x+a [j-1];

P:=P+S*x;

j:=j-1;

until j=1;

функция алгоритма будет:

 

 

Учитывая, что , последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:

 

 

Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: .

Конечные разности

 

Определение конечных разностей

 

Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i -той точке определяется выражением: , где функция  задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции  определяющее соотношение имеет вид:

 

.

 

Преобразование таблицы функции  в функцию целочисленного аргумента  осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i: .

Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов , а затем конечных . При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом (). Тогда для таблицы с (n+ 1) – й строками:

 

,

 

 

Повторные конечные разности n -го порядка в i -той точке для табличной функции  определяются соотношением

.

 

Литература

 

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.

2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248 с.

3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.

4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

5. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 196 с.

6. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.

7. Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.

8. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с.

9. Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.

10. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

Погрешности

 

Действительные и конечно-разрядные числа

 

Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий.

Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает

 

 

где n – число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Приближенное конечно-разрядное число a – это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную  и относительную  погрешности. Эти погрешности при анализе распространения ошибки при вычислениях приписываются к приближенному числу результата и связываются между собой следующим образом:

 

 

Если число a = 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е. =0.00005, а относительная погрешность, округляемая обычно до одного-двух значащих достоверных разрядов, будет

Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность:

 

 

где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,

 – арифметическая операция из множества .

Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов).

Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:

 

,

 

.

 

Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше . Т.е. погрешность приближается к 100% последовательно. Это предупреждение адресуется составителям вычислительных алгоритмов, которым необходимо выискивать эквивалентные формулы с контролем величины операндов, в определенных ситуациях можно использовать программный переход к вычислениям с удвоенной точностью.

При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов.

 

Погрешность алгоритмов

 

Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.

Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель  с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если  в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома  третьей степени по схеме Горнера с псевдокодом:

P:=0; j:=3;

repeat

S:=a[j]*x+a [j-1];

P:=P+S*x;

j:=j-1;

until j=1;

функция алгоритма будет:

 

 

Учитывая, что , последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:

 

 

Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: .

Конечные разности