Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Случайные вектора

Оглавление

Функция распределения вероятностей двух случайных величин.......... 2

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин............................................................................................................................................. 4

Условная функция распределения вероятностей........................................... 7

Условная плотность вероятности......................................................................... 7

Числовые характеристики двумерного случайного вектора.................... 8

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации............................ 10

Ковариация и независимость двух случайных величин........................... 11

Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности 13

Коэффициент корреляции...................................................................................... 15

Коэффициент корреляции и расстояние.......................................................... 17

Функция распределения вероятностей случайного вектора................... 18

Плотность вероятности случайного вектора................................................. 19

Многомерное нормальное распределение..................................................... 21

Характеристическая функция случайного вектора.................................... 22

Функции от случайных величин......................................................................... 23

Распределение вероятностей функции одной случайной величины.... 24

Преобразование нескольких случайных величин....................................... 28

Хи - квадрат распределение вероятностей..................................................... 30

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям   33

Литература............................................................................................... 35

Функция распределения вероятностей двух случайных величин

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.

Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин ,  (или случайного вектора ) называется функция

.                            (50.1)

Следует иметь в виду, что  - вероятность события  - пересечения двух событий:  и . В записях вида (50.1) принято вместо символа  использовать запятую.

 

50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.

1). , где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно,  - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где  - функция распределения вероятностей случайной величины .

2). , поскольку события ,  - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .

3). , поскольку событие  - невозможное и . Аналогично .

4).  - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .

5).  непрерывна справа по каждому аргументу.

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины ,  являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора  можно рассматривать как точку на плоскости, а функция  определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

 

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .

Представим вероятность  - попадания случайного вектора  в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть ,  - малые величины и функция  имеет первые производные по  и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

   

.                           (50.3)

Отсюда:

 .           (50.4)

 

Коэффициент корреляции

 

58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин  и  называется число

.                           (58.1)

Коэффициент корреляции является ковариацией:  двух безразмерных случайных величин

, ,                     (58.2)

полученных из исходных величин  и  путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние ,  и единичные дисперсии , .

Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию  случайных величин  и :

.               (58.3)

Поскольку , то из (58.3) следует

 .          (58.4)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале  и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами  и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений  зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства  как меры статистической связи между случайными величинами.

 

58.2. Пусть  - случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией  и . Ковариация случайных величин  и  определяется формулой (56.5):  . Подставим это соотношение в (58.3), тогда:

                (58.4)

Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции  принимает либо максимальное значение , либо минимальное - .

58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины  и  на линейную случайную функцию следующего вида:

                     (58.5)

где  и  - независимые случайные величины. В частном случае  - число и (58.5) – линейная функция, определяющая  через . Для детерминированной линейной связи  - принимает максимальное значение. Если  - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к . В зависимости от свойств случайной величины  статистическая связь между  и  может быть сильной, , или слабой, . Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами  и  (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.

Пусть , , , . Тогда из (58.5) следует, в силу независимости  и :

.                                         

Выразим дисперсию случайные величины  через параметры случайных величин , :

 .         (58.6)

Теперь по формуле (58.3):

 .                         (58.7)

Если , то из (58.7) следует , что соответствует слабой связи между случайными величинами  и . Если , из (58.7) следует , связь становится сильной и в пределе при  переходит в детерминированную линейную связь.

 

Литература

 

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.

Случайные вектора

Оглавление

Функция распределения вероятностей двух случайных величин.......... 2

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин............................................................................................................................................. 4

Условная функция распределения вероятностей........................................... 7

Условная плотность вероятности......................................................................... 7

Числовые характеристики двумерного случайного вектора.................... 8

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации............................ 10

Ковариация и независимость двух случайных величин........................... 11

Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности 13

Коэффициент корреляции...................................................................................... 15

Коэффициент корреляции и расстояние.......................................................... 17

Функция распределения вероятностей случайного вектора................... 18

Плотность вероятности случайного вектора................................................. 19

Многомерное нормальное распределение..................................................... 21

Характеристическая функция случайного вектора.................................... 22

Функции от случайных величин......................................................................... 23

Распределение вероятностей функции одной случайной величины.... 24

Преобразование нескольких случайных величин....................................... 28

Хи - квадрат распределение вероятностей..................................................... 30

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям   33

Литература............................................................................................... 35

Функция распределения вероятностей двух случайных величин

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.

Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин ,  (или случайного вектора ) называется функция

.                            (50.1)

Следует иметь в виду, что  - вероятность события  - пересечения двух событий:  и . В записях вида (50.1) принято вместо символа  использовать запятую.

 

50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.

1). , где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно,  - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где  - функция распределения вероятностей случайной величины .

2). , поскольку события ,  - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .

3). , поскольку событие  - невозможное и . Аналогично .

4).  - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .

5).  непрерывна справа по каждому аргументу.

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины ,  являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора  можно рассматривать как точку на плоскости, а функция  определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

 

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .

Представим вероятность  - попадания случайного вектора  в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть ,  - малые величины и функция  имеет первые производные по  и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

   

.                           (50.3)

Отсюда:

 .           (50.4)

 

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

 

Пусть у функции  существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин  и  называется функция

                          (51.1)

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

.      (51.2)

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:

.           (51.3)

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность  - попадания двумерного вектора  в прямоугольник, определяемый отрезками  и  через плотность вероятности .

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть , , , , тогда (51.2) принимает вид:

.                                  (51.4)

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей  через плотность вероятности  и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , , , , тогда из (51.2) следует равенство:

,                           (51.5)

поскольку  - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .

4. Если  - плотность вероятности вектора , и  - плотность вероятности случайной величины , то

 .                         (51.6)

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка  и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности  - случайной величины . Аналогично,

 .                (51.7)

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

.                                 (51.8)

Представим  через плотность  согласно (51.4), а  через , тогда из (51.8) следует

 .                     (51.9)

Дифференцирование (51.9) по  приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины  и  называются независимыми, если независимы случайные события  и  при любых числах  и . Для независимых случайных величин  и :

 .                       (51.10)

Доказательство следует из определений функций  и , . Поскольку  и  - независимые случайные величины, то события вида:  и  - независимые для любых  и . Поэтому

   (51.11)

- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по  и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

.               (51.12)

6. Пусть  - произвольная область на плоскости , тогда

                              (51.13)

- вероятность того, что вектор  принимает любые значения из области  определяется интегралом по  от плотности вероятности .

Рассмотрим пример случайного вектора  с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности  на прямоугольнике  и  - вне этого прямоугольника. Число определяется из условия нормировки:

 .