Сбор статистических данных для получения оценок характеристик случайных величин

 

Естественной оценкой для математического ожидания случайной величины

Х является среднее арифметическое ее наблюденных значений

, где X_i – реализация случайной величины Х в i-ом опыте, N –количеств опытов.

Для оценки вероятности наступления события А используется частота наступления этого события

, где N – число опытов, m – частота наступления события А

 

Для оценки дисперсии случайной величины Х используют формулу:

 

 

В этом случае достаточно накапливать две суммы X_i и X_i².

 

Для случайных величин X и Y с возможными значениями X_i и Y_k оценка корреляционного момента определяется как:

Или в удобной для вычисления формуле:

 

 

Достоверность моделирования

В качестве оценки выходного параметра  ,берут среднее арифметическое от полученных реализаций

 

|В силу случайных причин оценка будет отличаться от m_y. Это отличие обычно характеризуют следующим образом: достаточно малую величину ε такую, что

| - m_y|<ε

называют точностью (погрешностью) оценки ., а вероятность β (близкая к 1) того, что неравенство выполняется, достоверностью ее (или коэффициентом доверия). Тогда

Р(| - m_y| < ε) = β или Р( -ε <m_y< +ε) = β

Диапазон практических возможных значений ошибки возникающих при замене m_y на  будет ε. Большие по абсолютной величине ошибки (т.е. выходящие за пределы этого диапазона появляются только с малой вероятностью q = 1 – β, что означает: с вероятностью β значение параметра m_y попадает в случайный интервал (  - ε, +ε). Вероятность β называют доверительной вероятностью, а указанный интервал - доверительным интервалом, или 100β % доверительным интервалом. На практике часто ограничиваются 95% доверительным интервалом (β = 0,95)

 

Рис.9.1

 

 

Величина  является суммой N независимых одинаково распределенных величин и согласно предельной теореме при достаточно большом числе испытаний N ее закон распределения близок к нормальному.

Таким образом при моделировании считают, что оценка  величины m_y нормально распределена и имеет математическое ожидание m_y и дисперсию D. Во многих случаях удобно рассматривать величину

 

Которая имеет нормальное распределение, нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

 

Так как q = 1 – β, то 100β% доверительный интервал в силу центральной предельной теоремы теории вероятности  определится соотношением

 или

 

Значение t_q можно найти по таблицам функции Лапласа, при β =0,95 величина q=0,05 и t_q = 1,96

q=0,003 и t_q = 3

Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события А

 

m_x = x₁p+x₂(1-p)=p

Дисперсия этой величины

D_x= (x₁-m_x)²p+(x₂-m_x)²(1-p)=p(1-p)

В качестве оценки р используют частоту наступления события А при N реализациях. Если N задано достаточно накапливать m – количество наступлений события А , 

 

где Х_i – количество наступлений события А в реализации с номером i.