Идентификация регрессионной модели процесса по последовательности экспериментальных точек

 

Цель работы: Ознакомление с методикой построения регрессионных моделей и проверки их адекватности.

Формулировка задачи: По заданной совокупности экспериментальных точек выбрать вид регрессионной модели и выполнить идентификацию ее параметров.

Методика выполнения работы:

1. Для идентификации регрессионной модели необходимо определить коэффициенты регрессионной зависимости. В качестве регрессионной модели в рамках практической работы принят полином вида:

Коэффициенты  определяются по следующим зависимостям:

 

 

 

Запишите регрессионную модель.

2. Определите значения функциональной () модели при значениях абсциссы, соответствующих значениям абсциссы экспериментальных точек.

3. Определите значение “невязок” для каждой экспериментальной точки и функциональной модели по формуле

,

где: Y _i – значение ординаты экспериментальной точки в соответствии с заданием; F (x _i ) – значение уравнения Y= F (x _i ) при значениях x _i, соответствующих значениям абсцисс экспериментальных точек.

4. Определите численное значение нормы Гаусса по формуле:

5. Определите численное значение нормы Чебышева по формуле:

6. Сделайте вывод из анализа полученной модели.

Пример.

Задание: По заданной совокупности экспериментальных точек выбрать вид регрессионной модели и выполнить идентификацию ее параметров.

 

х1; x 2	y
(4;2) (20;2) (4;4) (20;4)	2.13; 2.51; 2.88; 3.12

 

Решение.

Для идентификации регрессионной модели определим коэффициенты регрессионной зависимости. В качестве регрессионной модели принимаем полином вида:

Коэффициенты  определяем по следующим зависимостям:

 

 

 

                   ;                     

 

Определим значения функциональной модели при значениях абсциссы, соответствующих значениям абсциссы экспериментальных точек (таблица 4.1). Определим значение “невязок” для каждой экспериментальной точки и функциональной модели по формуле:

,

где: Y _i – значение ординаты экспериментальной точки в соответствии с заданием. F (x _i ) – значение уравнения Y= F (x _i ) при значениях x _i, соответствующих значениям абсцисс экспериментальных точек.

 

Таблица 4.1.

х1	4	20	4	20
х2	2	2	4	4
У эксп.	3	8	9	15
У мод	2,25	7,755	8,75	14,255
DУ	0,75	0,245	0,25	0,745
DУ2	0,5041	0,0025	0,044	0,3025

 

Определим численное значение нормы Гаусса по формуле:

 

 

Определим численное значение нормы Чебышева по формуле

Вывод. Для данных условий задачи такая величина нормы Чебышева и нормы Гаусса допустима. Таким образом полученная регрессионная зависимость является адекватной.

 

Таблица 4.2 Варианты заданий

№	x	y
1	1, 2, 4, 5, 8, 10	2.5; 3.1; 4.5; 5.9; 14.1; 26.2
2	1, 2, 4, 5, 6, 7	0; 0.5; 2.05; 3.2; 3.9; 4.89
3	1, 2, 4, 5, 6, 7	0.45; 0.52; 0.87; 1.12; 1.31; 1.56
4	1, 2, 4, 5, 6, 7	0.45; 0.95; 2.02; 2.65; 3; 3.42
5	1, 2, 3, 4, 5, 6	2.13; 2.51; 2.88; 3.12; 3.65; 4.28
6	1, 2, 4, 5, 6, 7	0.45; 0.52; 0.87; 1.12; 1.31; 1.56
7	1, 2, 4, 5, 6, 7	0.45; 0.95; 2.02; 2.65; 3; 3.42
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	2.13; 2.51; 2.88; 3.12; 3.65; 4.28
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	1.6; 2.71; 4.4; 6.91; 9.96; 14.92
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	2.23; 2.05; 1.94; 1.79; 1.65; 1.52
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	11.2; 8.8; 4.5; -0.29; -5.86; -12.8
12	1, 2, 3, 4, 5, 6	1.59; 1.78; 2.12; 2.51; 2.84
13	2, 4, 6, 8, 10, 12	2.5; 6.2; 9.7; 13.2; 15.3; 19.6
14	2, 4, 6, 8, 10, 12	1.7; 3.9; 4.2; 4.3; 5.4; 6.9
15	2, 4, 6, 8, 10, 12	8.1; 9.2; 9.9; 10.1; 10.9; 14.3
16	2, 4, 6, 8, 10, 12	2.41; 3.6; 4.12; 5.86; 7.83; 13.25
17	2, 4, 6, 8, 10, 12	15.42; 13.14; 12.35; 10.72; 9.27; 8.12
18	2, 4, 6, 8, 10, 12	3.95; 5.13; 6.87; 8.46; 11.05; 16.45
19	0, 1, 2, 3, 4, 5	0.15; 0.9; 1.46; 1.98; 2.58; 2.75
20	0, 1, 2, 3, 4, 5	2; 3; 4; 12; 25; 42
21	1, 2, 4, 5, 8, 10	2; 5; 13.8; 23.6; 47.6; 75.2
22	1, 2, 3, 4, 5, 6	1.6; 2.71; 4.4; 6.91; 9.96; 14.92

 

Практическая работа № 5.