Дискретная случайная величина

Пример 3.1.1. Дискретная случайная величина  принимает значения  и  с вероятностями  и  соответственно.

Рис. 3.1.1

Требуется: 1) построить многоугольник распределения вероятностей; 2) найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. 1) Если в прямоугольной системе координат построить точки (, ) и соединить их отрезками прямых, то получим ломаную линию, называемую многоугольником распределения вероятностей (рис. 3.1.1).

2) Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле

,

где  – возможные значения случайной величины ,  – вероятность появления значения  случайной величины . Поэтому

.

Пример 3.1.2. Закон распределения дискретной случайной величины  задан рядом распределения:

	1	3	5	8
	0,1	0,3	0,5	0,1

Требуется найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .

Решение. Дисперсия является характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины  относительно математического ожидания и для её вычисления обычно используют следующую рабочую формулу:

, где .

Поэтому .

Среднеквадратическое отклонение .

Пример 3.1.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины  задан рядом распределения:

	0	2	5
	0,2	0,6

Найти значение числа  и построить график функции распределения .

Рис. 3.1.2

Решение. 1)  поэтому  2) Функция распределения представляет собой вероятность выполнения неравенства , где  – значение случайной величины, полученное в результате опыта,  – заданное значение случайной величины , т. е. . Поэтому 1) если x ≤ 0, то , т.к. значения , меньшего заданного  не существует; 2) если , то , т.к. при  может иметь только одно значение  с вероятностью 0,2; 3) если , то  может принять случайно два значения 0 и 2 и ; 4) если , то  может принять любое значение 0; 2; 5 с вероятностями 0,2; 0,6; 0,2 и, поэтому при . График функции распределения  приведен на рис. 3.1.2.

Пример 3.1.4. Дискретная случайная величина  имеет закон распределения, заданный рядом распределения:

	0	2	6	8
	0,21	0,39	0,3	0,1

1) Найти вероятности следующих событий: . 2) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .

Решение. 1) Дискретная случайная величина  может принимать следующие значения:  с вероятностями: . Отсюда

;

.

2) Так как случайная величина дискретна, то для вычисления математического ожидания будем использовать следующую формулу:

Дисперсию случайной величины  будем вычислять по формулам:

, , .

Поэтому

. Среднеквадратическое отклонение равно .

Задачи для самостоятельного решения

1. Дискретная случайная величина  принимает значения  и  с вероятностями  и  соответственно. Построить многоугольник распределения вероятностей и найти вероятности .

2. Дискретная случайная величина   задана рядом распределения:

	0	3	6	8
	0,1	0,3	0,5	0,1

Найти математическое ожидание случайной величины  и вероятности .

3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , закон распределения которой задан рядом

		0	1	4	8
		0,1	0,2	0,6	0,1

4. Дискретная случайная величина  принимает значения  с вероятностями  Требуется построить график функции распределения F(х) случайной величины .

5. Дискретная случайная величина  принимает значения  с вероятностями  соответственно. Требуется найти вероятности

6. Дискретная случайная величина   задана рядом распределения:

	– 2	– 1	0	2	3
	0,02	0,15	0,35	0,40	0,08

Требуется найти а) математическое ожидание случайной величины ;
б) вероятности:

7. Дискретная случайная величина   задана рядом распределения:

	– 2	– 1	0	3	4
	0,02	0,14	0,36	0,40	0,08

Найти дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины  и вероятности:

8. Дискретная случайная величина   задана рядом распределения:

	– 0,1	0	1
	0,1	0,2	0,5	0,2

Требуется: а) найти значение числа , если ; б) построить график функции распределения вероятностей случайной величины .

9. Дискретная случайная величина   задана рядом распределения:

	– 2	–1	0		2
	0,05	0,25	0,4		0,1

Требуется найти значение числа , , дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины  , если .

10. Дискретная случайная величина  задана рядом распределения вероятностей:

	– 2	0	2	5
	0,1	0,2

Требуется найти: а) , , если ; б) дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .

3.2. Непрерывная случайная величина

Пример 3.2.1. Непрерывная случайная величина  задана функцией плотности распределения вероятностей:

1) Определите значение коэффициента . 2) Постройте график функции . 3) Найдите . 4) Найдите .

5) Найдите .

Решение. 1) Так как , то  

 Поэтому .

Рис. 3.2.1

2) На рис. 3.2.1 построен график функции  при .

3) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства

.

Поэтому .

4)

. Полученная вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции  и опирающейся на отрезок [0;1].

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .

Пример 3.2.2. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения:

Найдите: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) – функцию плотности распределения случайной величины ; 6) – математическое ожидание случайной величины ; 7)  – дисперсию случайной величины ; 8) σ(Х) – среднеквадратическое отклонение случайной величины .

Решение. 1) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства . Поэтому .

2) По определению функции распределения имеем . Поэтому .

Или (второй способ решения):

.

3) События () и () – противоположны, а сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно,

.

Или (второй способ решения):

.

4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .

5) Согласно определению . Поэтому

6) По определению математическое ожидание случайной величины Х равно . Поэтому для рассматриваемой функции

.

7) Для нахождения дисперсии случайной величины Х воспользуемся формулой , где .

В нашем случае

.

Поэтому .

8) По определению . Поэтому .

Задачи для самостоятельного решения

1. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения:

а) Постройте график функции ; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найти: , , , , , ; г) Найдите математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.

2. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения:

а) Постройте график функции ; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найдите: , , ; г) Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

3. Задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины:

Найдите: а) значение числа ; б) ; в) ;
г) ; д) математическое ожидание случайной величины.

4. Непрерывная случайная величина  задана функцией плотности распределения вероятностей:

а) Определите значение числа ; б) постройте график функции ; в) найдите: , , ; г) найдите дисперсию данной случайной величины.

5. При каких значениях числа  функция  может быть функцией плотности распределения вероятностей некоторой случайной величины, заданной на промежутке: а) [0;2]; б) [0;+∞]?

 

Издательство ООО "еТест"

117133, г. Мостква, ул. Академика Варги, 28

Тел.(095) 514-7479. E-mail: publish@nvt-design.ru

Изд. лиц. ИД № 05684 от 24.08.2001 г. Пописано в печать 29.08.2013.

Формат 60 88 1/16. Гарнитура Times. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.

Печ. л. 2,0. Тираж 2000 экз. Заказ 3985

Отпечатано с готовых диапозитивов

в ФГУП "Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ".

140010, г. Люберцы Московская обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел (095) 554-21-86