Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

Известно, что на движение сплошных сред распространяются общие законы механики. Среди этих законов особенно важное значение имеют законы сохранения, пригодные как в классической физике, так и в физике микро- и макромира. В классической физике, где обычно рассматриваются движения лишь со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света, считается, что сохраняется также и масса вещества. Применение законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии к движущимся жидкостям и газам дает систему основных уравнений механики жидкостей и газов.

Уравнение неразрывности по сути представляет собой закон сохранения массы изолированной системы:

                                      ,                                             (3.14)

где m – масса вещества. Представим массу в виде , где   ранее определено, W – элементарный объем движущейся жидкости, и подставим в закон сохранения массы (3.14). В итоге получается выражение:

                                .                     (3.15)

Разделим выражение (3.15) на произведение плотности на объем, получим:

                                                                       (3.16)

Второе слагаемое в формуле (3.16) выражает относительное изменение объема с течением времени, а это есть физический смысл дивергенции вектора скорости. Итак,

                                        .                                (3.17)

Подставив выражение (3.17) в (3.16), получим

                                     .                                 (3.18)

Из векторного анализа известно, что

                         .                                (3.19)

Распишем полный дифференциал  на частные производные

                  .                           (3.20)

Подставив полученные результаты в формулу (3.18), получим

     .    (3.21)

Группируем слагаемые уравнения (3.21) следующим образом:

                                                             (3.22)

В итоге получаем дифференциальное уравнение неразрывности:

              .                    (3.23)

В случае, когда жидкость является средой несжимаемой, уравнение (3.23) упрощается:

                                                                    (3.24)

или

                                      .                                           (3.25)

 

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ И ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЕЙ

Уравнение движения реальной (вязкой)

Жидкости Навье-Стокса

Основными уравнениями, описывающими движение жидкости, являются уравнения движения Навье – Стокса, которые получаются из уравнений движения в напряжениях с использованием обобщенного закона Ньютона. В декартовой системе координат они выглядят следующим образом:

                                      (4.1)

Левая часть этих уравнений описывает приведенные силы инерции, спроецированные на оси координат, первое слагаемое в правой части этих уравнений представляет собой проекцию ускорения массовых сил на оси координат, второе слагаемое - приведенные силы давления, третье слагаемое – приведенные силы вязкости (трения).

К уравнениям Навье – Стокса присоединяется уравнение неразрывности (несжимаемости):

                                                                     (4.2)

Совокупность уравнений (4.1), (4.2) представляют собой замкнутую нелинейную систему четырех уравнений в частных производных второго порядка с четырьмя неизвестными функциями , величины  и  являются заданными постоянными. Нелинейность системы обусловлена наличием конвективной составляющей в левой части уравнений (4.1), которые можно представить в виде (3.5).

Эти уравнения описывают целый класс задач. Для того чтобы выделить конкретную задачу необходимо ввести условия однозначности.

Условия однозначности

1. Физические условия (например, плотность и вязкость являются величинами постоянными).

2. Геометрические условия (геометрия каналов).

3. Начальные условия (начальные условия задаются только для неустановившегося течения).

4. Граничные условия. (Условия на границах потока). Самым распространенным является условие «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке, т.е. равенство нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности или совпадение скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности, с которыми жидкие частицы соприкасаются. Это граничное условие даже в конце X1X века оспаривалось некоторыми авторами, но в настоящее время полностью оправдано.