Сравнение роста по простым и сложным процентным ставкам. Правило семидесяти двух.

 

Чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых значениях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. Обозначим i_s ставку простых процентов, i – ставку сложных процентов, тогда:

 

· для срока меньше года простые проценты больше сложных:

(1 + n*i_s) > (1 + i)ⁿ

 

· для срока больше года сложные проценты больше простых:

(1 + n*i_s) < (1 + i)ⁿ

· для срока, равного году, множители наращения равны друг другу:

(1 + n*i_s) = (1 + i)ⁿ

 

 

Сравнение множителей наращения, i_s = i = 12%

Множители наращения	Срок ссуды
	30 дн.	180 дн.	1 год	5 лет	10 лет	100 лет
1 + ni	1,01644	1,05918	1,12	1,6	2,2	13
(1 + i)n	1,00936	1,05748	1,12	1,76234	3,10584	83522,3

 

Формулы удвоения. Количество лет, необходимое для удвоения первоначальной суммы, можно рассчитать по формулам:

 

- при начислении простых процентов:

    n = (FV/PV – 1) / i_s = 1 / i_s

 

- при начислении сложных процентов часто используют правило 72: приближенное количество лет, необходимое для удвоения первоначальной суммы, равно частному от деления 72 на сложную процентную ставку n = 72/i (%)

 

[ точное кол-во лет  ]

Начисление внутригодовых процентов. Номинальная и эффективная ставки.

Проценты могут начисляться и присоединяться не по истечении года, а чаще, тогда имеет место внутригодовая капитализация процентов. В этом случае наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации.

В условиях финансовой сделки оговаривают не ставку за период, а годовую ставку (обозначим j). Если число периодов начисления в году – m, то ставка за конкретный период начисления j / m. Формула наращения будет следующей:

FV = PV (1+ j / m) ^mn  

 

Т.к. n – срок финансовой операции в годах, то mn – общее кол-во периодов начисления.

 

ПРИМЕР: Ссуда 2 млн.руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Процентная ставка 10%. Начисление процентов происходит поквартально. Определить сумму задолженности к погашению.

FV = 2(1+0,1/4)^4*3 = 2,6898 млн.руб.

 

При использовании одинаковой процентной ставки сумма наращения будет тем больше, чем чаще происходит капитализация. Например, при ставке j = 12%, наращенная за год стоимость 1 д.е. в зависимости от частоты начисления будет меняться следующим образом:

Капитализация (m раз начислений в году)	Наращенная за год стоимость суммы в 1 д.е.
1 (ежегодно)	1,1200 = 1(1+0,12/1)1
2 (раз в полгода)	1,1236 = 1(1+0,12/2)2*1
4 (ежеквартально)	1,1255 = 1(1+0,12/4)4*1
12 (ежемесячно)	1,1268 = 1(1+0,12/12)12*1

 

Используемая в расчетах годовая базовая ставка j называется номинальной.

Эффективная ставка процента измеряет тот реальный относительный доход, который получается в целом за год. Т.е., эффективная ставка – это такая годовая ставка сложных процентов (i), которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Чтобы использование двух ставок (эффективной и номинальной) давало одинаковый результат, множители наращения должны быть равны:

 

      (1 + i)ⁿ = (1 + j/m)^mn           =>  i = (1 + j/m)^m – 1

 

При m > 1 эффективная ставка больше номинальной.

[ ]