Что такое зеркальный эффект.

Что такое зеркальный эффект.

Предположим, что исходный сигнал состоял из суммы гармоник. f_s(t) = A_s cos(2πtm_s / T + φ_s). Пусть мы этот сигнал подвергли дискретизации, выполнили над ним прямое и обратное преобразование Фурье. Представили в виде суммы гармоник G_k(t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k), как это описано в предыдущей главе. Спрашивается, эти гармоники G_k - те же самые, что и исходные гармоники f_s или нет? Оказывается, нет, не те. Но кое-какую информацию об исходных гармониках все же можно попытаться восстановить.

Эта задача имеет практический интерес. Пусть нам дан некий сигнал, который физически получился как сумма гармонических колебаний (или близких к ним). Простейший пример: кто-то сыграл аккорд, аккорд записан как звуковое колебание в виде mp3 или wav-файла; и надо восстановить, из каких нот аккорд состоял. Или другой случай. Во время испытаний самолета возик флаттер (разрушительные нарастающие колебания), самолет разбился, но самописцы в черном ящике записали изменение перегрузки (суммарное механическое колебание). Надо посмотреть, из каких гармоник состояло это колебание. Каждой гармонике соответствует некоторая часть конструкции. В результате можно понять, какие части самолета колебались сильнее всего и вызвали флаттер.

Вернемся к предыдущей ситуации.

Дана функция f(t) на отрезке [0, T].

Выполнена ее дискретизация, для чего отрезок разбит на N равных частей в точках t_n = Tn/N и вычислены значения функции в этих точках: {x}: x_n = f(t_n) = f(Tn/N).

Пусть выполнено прямое дискретное преобразование Фурье (далее - ДПФ) {X}: X_k = NA_ke ^jφ_k, и функция разложена на сумму из N гармоник:

G_k(t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k)

Теперь предположим, что наша исходная функция сама представляла собой такую гармонику:

f(t) = A cos(2πtm / T + φ).

Получится ли в результате ее преобразования последовательность {X}, в которой все элементы равны нулю, кроме элемента X_m = NA_me ^jφ_m, который дает как раз эту гармонику?

G_m(t) = A_m cos(2πtm / T + φ_m) = f(t), A_m = A, φ_m = φ

Как уже говорилось, нет, нас ждет разочарование. Вместо этой одной гармоники мы получим две:

G_m(t) = (A/2) cos(2πtm / T + φ) = f(t) / 2 = f'(t)

и

G_N-m(t) = (A/2) cos(2πt(N - m) / T - φ) = f''(t)

Как видите у них половинные амплитуды, противоположные фазы, а частоты зеркально симметрично расположены на отрезке [0, N]. Это - тот самый зеркальный эффект.

Вывод:

Зеркальный эффект всегда проявляется так, что гармонические колебания:

f(t) = A cos(2π tm / T + φ),

2f ''(t) = A cos(2π t(N-m) / T - φ) и

f'(t) + f''(t) = (A/2) cos(2π tm / T + φ) + (A/2) cos(2π t(N-m) / T - φ)

в процессе дискретного преобразования Фурье представляются как сумма колебаний

f'(t) + f''(t).

При этом все коэффициенты ДПФ равны нулю за исключением

X_m = (A/2)Ne ^jφ

и

X_{N - m} = (A/2)Ne ^-jφ

кроме частных случаев m = N / 2 и m = 0, в которых единственный ненулевой коэффициент:

X_m = ANcos φ

В этом последнем частном случае зеркальный эффект выглядит несколько иначе: у исходного гармонического колебания теряется фаза и искажается амплитуда. Лишь частота сохраняется прежней.

Что такое зеркальный эффект.

Предположим, что исходный сигнал состоял из суммы гармоник. f_s(t) = A_s cos(2πtm_s / T + φ_s). Пусть мы этот сигнал подвергли дискретизации, выполнили над ним прямое и обратное преобразование Фурье. Представили в виде суммы гармоник G_k(t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k), как это описано в предыдущей главе. Спрашивается, эти гармоники G_k - те же самые, что и исходные гармоники f_s или нет? Оказывается, нет, не те. Но кое-какую информацию об исходных гармониках все же можно попытаться восстановить.

Эта задача имеет практический интерес. Пусть нам дан некий сигнал, который физически получился как сумма гармонических колебаний (или близких к ним). Простейший пример: кто-то сыграл аккорд, аккорд записан как звуковое колебание в виде mp3 или wav-файла; и надо восстановить, из каких нот аккорд состоял. Или другой случай. Во время испытаний самолета возик флаттер (разрушительные нарастающие колебания), самолет разбился, но самописцы в черном ящике записали изменение перегрузки (суммарное механическое колебание). Надо посмотреть, из каких гармоник состояло это колебание. Каждой гармонике соответствует некоторая часть конструкции. В результате можно понять, какие части самолета колебались сильнее всего и вызвали флаттер.

Вернемся к предыдущей ситуации.

Дана функция f(t) на отрезке [0, T].

Выполнена ее дискретизация, для чего отрезок разбит на N равных частей в точках t_n = Tn/N и вычислены значения функции в этих точках: {x}: x_n = f(t_n) = f(Tn/N).

Пусть выполнено прямое дискретное преобразование Фурье (далее - ДПФ) {X}: X_k = NA_ke ^jφ_k, и функция разложена на сумму из N гармоник:

G_k(t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k)

Теперь предположим, что наша исходная функция сама представляла собой такую гармонику:

f(t) = A cos(2πtm / T + φ).

Получится ли в результате ее преобразования последовательность {X}, в которой все элементы равны нулю, кроме элемента X_m = NA_me ^jφ_m, который дает как раз эту гармонику?

G_m(t) = A_m cos(2πtm / T + φ_m) = f(t), A_m = A, φ_m = φ

Как уже говорилось, нет, нас ждет разочарование. Вместо этой одной гармоники мы получим две:

G_m(t) = (A/2) cos(2πtm / T + φ) = f(t) / 2 = f'(t)

и

G_N-m(t) = (A/2) cos(2πt(N - m) / T - φ) = f''(t)

Как видите у них половинные амплитуды, противоположные фазы, а частоты зеркально симметрично расположены на отрезке [0, N]. Это - тот самый зеркальный эффект.