Доказательство достоверности решения, полученного методом Фурье

1.Подставим функцию (15) в исходное дифференциальное уравнение

 

 

Подставляем коэффициенты

выполнение этого равенства можно проверить графически, построив графики функции  и некоторой частичной суммы  ряда, стоящего справа.

Например, взяв значения управляемых параметров  получим:

График функции

 

наблюдается визуальное совпадение графиков на промежутке , значит, условие  выполняется.

 

Таким образом показано, что найденная функция  удовлетворяет всем условиям краевой задачи (1), (2). Следовательно,достоверность решения этой задачи доказана.

 

Табулирование значений искомой функции в узлах сетки, покрывающей область, в которой найдено решение

Для того, чтобы провести табулирование значений найденной функции  по области D, нужно сначала подсчитать  – количество членов ряда, необходимое для соответствия значений  заданной точности .

Вычисление  проводится из условия  при  

   

Смысл этого условия состоит в том, что ненулевое граничное условие, описываемое равенством (16) должно выполняться с точностью

Для подсчета количества членов ряда  задаем значение управляемых параметров и используем программу-приложение к курсовой работе Course_ Work. exe.

 

 – количество членов ряда, которое понадобилось для удовлетворения условию  в точке  

Максимальное значение n=138, значит для табулирования значений функции  в точках области будем задавать 138 членов ряда.

 

Для табулирования значения функции  также используем программу Course_ Work. exe.

Задаем , те же значения управляемых параметров и вычисляем значение функции  по формуле (15) в точках , которые являются узлами прямоугольной сетки размером 10x10, покрывающей область D: ,

Таблица значений

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	4,69536	4,91417	5,59246	6,79819	8,65248	11,34292	15,14517	20,45856	27,86851	38,27329	53,20205
8	8,96028	9,37638	10,66622	12,95864	16,48315	21,59398	28,80876	38,86861	52,83366	72,2412	99,36742
7	12,40661	12,97917	14,75385	17,90744	22,75416	29,77741	39,6788	53,45005	72,4757	98,67482	134,6795
6	14,72652	15,39945	17,48514	21,1908	26,88437	35,13023	46,74333	62,86497	85,06284	115,45344	156,83324
5	15,7225	16,43	18,62278	22,51852	28,50345	37,16949	49,36971	66,29478	89,57115	121,3761	164,55442
4	15,32652	15,99945	18,08514	21,7908	27,48437	35,73023	47,34333	63,46497	85,66284	116,05344	157,43324
3	13,60661	14,17917	15,95385	19,10744	23,95416	30,97741	40,8788	54,65005	73,6757	99,87482	135,8795
2	10,76028	11,17638	12,46622	14,75864	18,28315	23,39398	30,60876	40,66861	54,63366	74,0412	101,16742
1	7,09536	7,31417	7,99246	9,19819	11,05248	13,74292	17,54517	22,85856	30,26851	40,67329	55,60205
0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

 

Из таблицы значений функции  видно, что выполняются граничные условия для этой функции, а именно:

.

Протабулируем также значения частной производной   в тех же узлах прямоугольной сетки D.

Таблица значений

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	0,44122	0,92658	1,50484	2,23466	3,19159	4,4785	6,24397	8,72118	12,3302	17,99998
8	0	0,83905	1,76188	2,86083	4,24659	6,06037	8,49118	11,80269	16,37933	22,8087	32
7	0	1,15452	2,42402	3,93499	5,83821	8,32406	11,64232	16,12858	22,2395	30,59429	42
6	0	1,3569	2,84867	4,6234	6,8569	9,76938	13,64537	18,85712	25,8891	35,35625	48,00001
5	0	1,42661	2,99489	4,86035	7,20725	10,26573	14,3315	19,78777	27,12585	36,95658	50,00001
4	0	1,3569	2,84867	4,6234	6,8569	9,76938	13,64537	18,85712	25,8891	35,35625	48,00001
3	0	1,15452	2,42402	3,93499	5,83821	8,32406	11,64232	16,12858	22,2395	30,59429	42
2	0	0,83905	1,76188	2,86083	4,24659	6,06037	8,49118	11,80269	16,37933	22,8087	32
1	0	0,44122	0,92658	1,50484	2,23466	3,19159	4,4785	6,24397	8,72118	12,3302	17,99998
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

Из таблицы значений частной производной по   видно что выполняются граничные условия для этой функции, а именно:

 

 

Выполнение граничных условий при табулировании значений  и  подтверждает правильность нахождения функции  и самого табулирования.