Основные сведения о БИХ фильтрах. Методы расчета

Реальные цифровые БИХ-фильтры характеризуются следующим рекурсивным уравнением:

       (1)

где

h(k) — импульсная характеристика фильтра, длительность которой теоретически бесконечна,

b_к и а_к — коэффициенты фильтра,

х(n) и у(n) — вход и выход фильтра.

Передаточная функция БИХ-фильтра записывается следующим образом:

                                                      (2)

Важной составляющей процесса разработки БИХ-фильтра является поиск таких значений коэффициентов b_к и а_к, чтобы определенные аспекты характеристик фильтра, например, частотная характеристика, вели себя определенным образом.

Обратите внимание на то, что текущая выходная выборка у(п) является функцией прошедших выходов у(п - к), а также текущей и прошедших входных выборок х(п — к), т.е. БИХ-фильтр — это определенная система с обратной связью.

Достоинства БИХ-фильтров объясняются именно гибкостью, которую обеспечивает обратная связь. Например, БИХ-фильтр обычно требует меньше коэффициентов, чем КИХ-фильтр при идентичном наборе спецификаций, поэтому БИХ-фильтры используются тогда, когда важны резкие срезы характеристики. Ценой этого является потенциальная неустойчивость БИХ-фильтра, кроме того, если при разработке не принять надлежащих мер, возможно, значительное снижение производительности.

Разработку БИХ-фильтров можно условно разбить на пять основных этапов.

1. Составление спецификации фильтра, в которой разработчик задает передаточную функцию фильтра (например, указывает, что требуется фильтр нижних частот) и же­лаемую производительность.

2. Аппроксимация или расчет коэффициентов, когда выбирается один из доступных методов и вычисляются значения коэффициентов b_к и а_к, передаточной функции H(z), которая соответствует спецификациям, предложенным на этапе 1.

3. Выбор подходящей фильтрующей структуры, в которую переводится передаточная функция. Обычно в БИХ-фильтрах используются параллельная структура и/или кас­кады блоков второго и/или первого порядка.

4. Анализ ошибок, которые могут появиться при представлении коэффициентов фильтра и выполнении арифметических операций, фигурирующих при фильтрации, с помощью конечного числа битов.

5. Реализация, которая включает построение аппаратного обеспечения и/или написание программного кода плюс выполнение собственно фильтрации.

Для простого получения коэффициентов БИХ-фильтра можно разумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости, чтобы получающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристику.

Данный подход, известный как метод размещения нулей и полюсов, полезен только при разработке простых фильтров, например, узкополосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие как неравномерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно. Более эффективный подход — вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий желаемой спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой.

Большинство цифровых БИХ-фильтров разрабатываются именно так.

Данный подход получил широкое распространение потому, что на настоящий момент в литературе имеется масса информации по аналоговым фильтрам, которую можно использовать при разработке цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются

· Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики,

· Согласованное z-преобразование

· Билинейное z-преобразование.