Движение центра масс механической системы

Выделим условно из механической системы (рисунок 1.1) некоторую материальную точку M_j(m_j), на которую будут действовать две силы:

Рисунок 1.1

F_jⁱ – равнодействующая всех внутренних сил системы;
F_j^e – равнодействующая всех внешних сил системы.

 

Рассматривая выделенную точку как свободную, запишем для нее дифференциальное уравнение в векторной форме:

Составим аналогичным образом уравнения (1.5) для всех точек системы (j = 1,2,3,…,n) и формально их просуммируем:

Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства (1.6):
∑F_jⁱ = Rⁱ – главный вектор всех внутренних сил механической системы, который всегда равен нулю (по свойству внутренних сил);
∑F_j^e = R^e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему.

Преобразуем левую часть равенства (1.6):

В результате уравнение (1.6) принимает вид

или

m × a_c = R^e (1.9)

Теорема о движении центра масс механической системы: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием главного вектора внешних сил, действующих на эту механическую систему.

Проецируя векторное равенство (1.8) на неподвижные оси декартовых координат, получаем три дифференциальных уравнения движения центра масс:

Рассмотрим следствия из теоремы о движении центра масс, вытекающие из формул (1.8) и (1.10):

1. если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, т.е. R^e = ∑F_j^e = 0, то a_c= 0 или V_c= const. При этом, если в начальный момент центр масс механической системы был в покое (V_c= 0), то и в дальнейшем центр масс остается неподвижным (r_c= const);
2. если проекция на какую-либо ось (например на ось Ox) главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, т.е. R_x^e = ∑X_j^e = 0, то a_cx = 0 или V_cx = const, т.е. имеем закон сохранения проекции скорости центра масс: если проекция главного вектора (алгебраическая сумма проекций) всех действующих на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту же ось остается постоянной.

В частности, если в начальный момент V_cx = 0, то и в последующие моменты V_cx = 0 и, следовательно, x_c = const, т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ox не перемещается.

 

5 Моменты силы относительно точки и оси

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

 

Пусть имеются сила , приложенная в точке какой-либо НМС, точка О и ось l. Тогда можно дать определения моментам силы относительно точки и оси и установить связь между ними.

1.3.1. Момент силы относительно точки

Определение: Моментом силы относительно точки называется вектор, приложенный в этой точке, равный по величине произведению величины силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (называемое плечом), направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и силу, по правилу правого винта, т. е. в ту сторону, откуда совершаемый силой поворот тела, относительно точки виден против хода часовой стрелки (рис. 6).

Рис. 6

. (1.1)

Введем в рассмотрение радиус-вектор , определяющий положение точки B – точки приложения силы (рис. 7).

Рис. 7

При рассмотрении векторного произведения векторов и , оказывается, что

а) ;

б) плоскости, в которой находятся ;

в) составляют правую тройку векторов, т. е. если смотреть с конца третьего вектора, поворот от первого ко второму вектору виден против хода часовой стрелки.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

. (1.2)

В случае плоской системы сил величину момента силы относительно точки, лежащей в плоскости действия сил, можно рассматривать как алгебраическую величину, равную взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на плечо:

.

При этом величина момента берется со знаком плюс, если сила стремится осуществить поворот тела относительно точки против хода часовой стрелки и со знаком минус в противоположном случае (рис. 8).

Рис. 8

1.3.2. Момент силы относительно оси

Определение: Моментом силы относительно оси называется взятая со знаком плюс или минус величина момента проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси и плоскости:

. (1.3)

Момент берется со знаком плюс, если, смотря с конца положительного направления оси, видно, что проекция силы стремится осуществить поворот тела относительно оси против хода часовой стрелки. В противном случае момент берется со знаком минус (рис. 9).

Рис. 9

Момент силы относительно оси не зависит от выбора плоскости, перпендикулярной оси.

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

· =0, т.е. сила параллельна оси,

· h=0, т.е. линия действия силы пересекает ось.

Относительно точки и оси

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 10):

. (1.4)