Тема 2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

Тема 2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

 

§1. Формула наращения по простой ставке. Точность начисления процентов.

§2. Изменение процентной ставки во времени.

§3. Изменение депозитных сумм во времени.

§4. Реинвестирование по простым ставкам.

§5. Дисконтирование по простым процентным ставкам (математическое дисконтирование).

§6. Банковский учет (учет векселей).

§7. Наращение по учетной ставке.

§8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

 

 

Формула наращения по простой ставке. Точность начисления процентов.

 

Пусть задана исходная (современная, настоящая) стоимость денег PV (present value) и осуществляется ее наращение, т.е. процесс увеличения стоимости денег за счет начисления процентов. Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим FV (future value); число периодов начисления процентов – n; ставку процента за период – i.

 

Тогда сумма процентов (процентных денег) I₁, начисленных за один период составит: I₁ = PV * i.

 

Процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов для n периодов может быть выражен следующей формулой:

 

FV = PV + PV * i + … + PV * i = PV + PV * i * n = PV(1 + n*i) = PV + I_n

где I_n – сумма начисленных за весь срок процентов.

(1 + n*i) – множитель наращения.

 

ПРИМЕР: Выдан кредит в размере 700 тыс.руб. сроком на 3 года под 20% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Дано:                                                   Решение:

PV=700 тыс.руб.

n = 3 года                FV = PV(1 + n*i) = 700 (1+3*0,2) = 1 120 тыс.руб.

i = 20% годовых

                                 I_n = PV * i *n = 700 * 0,2 * 3 = 420 тыс.руб.

FV=?

 

Т.к. процентная ставка обычно устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору.

Пусть t – число дней ссуды, Т – число дней в году. Тогда n = t / Т, и

 

FV = PV(1 + t / Т *i)

 

Для наглядности формулу можно записать: FV = PV(1 + t * i /Т), т.е. дробь i /Т представляет собой дневную ставку, а произведение t * i /Т – ставку за t дней.

При расчете процентов применяются 2 временные базы:

Т = 360 – обыкновенные или коммерческие проценты;

Т = 365, 366 – точные проценты.

Число дней ссуды t также можно измерить приближенно (любой месяц принимается равным 30 дням) и точно (точный подсчет числа дней между датой выдачи и датой погашения ссуды, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за 1 день.)

На практике применяются 3 варианта расчета простых процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (Великобритания, США). Дает самые точные результаты. Условно обозначается 365/365.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (Франция, Бельгия, Швейцария). Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. 365/360

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах (Германия, Дания, Швеция). 360/360

 

ПРИМЕР: Депозит размером 100 000 руб. размещен под 10% годовых с 01.01 по 01.03 текущего года. Рассчитать начисленные за период проценты 3-мя различными способами.

I = PV * t/T * i

Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

I = 100 000 * 59/365 * 0,1 = 1 616,4 руб.

 

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360):

I = 100 000 * 59/360 * 0,1 = 1 638,9 руб.

 

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

I = 100 000 * 60/360 * 0,1 = 1 666,7 руб.

 

 

Изменение процентной ставки во времени.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

 

FV = PV(1 + n₁i₁ + n₂i₂ +... + n_mi_m) = PV(1 + ∑ n_t i_t),

где  i_t – ставка простых процентов в периоде t;

    n_t – продолжительность периода с постоянной ставкой, n = ∑ n_t.

 

ПРИМЕР: Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года.

 

1 + ∑ n_t i_t = 1 + 1*0,16 + 0,5*0,17 + 0,5*0,18 + 0,5*0,19 = 1,43

 

Тема 2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

 

§1. Формула наращения по простой ставке. Точность начисления процентов.

§2. Изменение процентной ставки во времени.

§3. Изменение депозитных сумм во времени.

§4. Реинвестирование по простым ставкам.

§5. Дисконтирование по простым процентным ставкам (математическое дисконтирование).

§6. Банковский учет (учет векселей).

§7. Наращение по учетной ставке.

§8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.