Свойства умножения матриц на число.

Глава I. Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.

а_ij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.

Пример       а) А= размер матрицы 2 2, а₁₁=1, а₂₁=3.

б) В= размер матрицы 4 3, а₃₃=13, а₄₁=4, а₁₂=0.

Виды матриц

Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.

Пример

А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.

Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.

Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.

Пример  А= - матрица строка; В= - матрица столбец.

Главная диагональ квадратной матрицы - это диагональ, которая начинается с элемента а₁₁.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример  Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.

Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей А^т.

Пример Если А= , тогда А^т= .

Действия над матрицами

Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , тогда А=В, если а_ij=в_ij.

Сложение матриц.

При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где с_ij= а_ij+в_ij. [1.1]

Пример А= , В= , А+В= .

Свойства сложения матриц.

1) А+В=В+А

2) (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+О=О+А=А

Умножение матрицы на число.

При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА=   [1.2].

Пример А= , λ=3, λА=

Свойства умножения матриц на число.

1) λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ

2) (λ+ β)А= λА+βА

3) λ(βА)=λβА

Умножение матриц.

1) Квадратные матрицы (одного размера)

Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с₁₁=а₁₁в₁₁+а₁₂в₂₁; с₁₂=а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂; с₂₁=а₂₁в₁₁+а₂₂в₂₁; с₂₂=а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂ [1.3].

Пример   а) = б) = .

Прямоугольные матрицы.

Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.

Пример а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;

б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;

в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.

Свойства умножения матриц.

1) АВ≠ВА

2) (АВ)С=А(ВС)

3) АЕ=ЕА=А

Определители

Пример

=-(1∙8∙2+2∙1∙2+3∙1∙1)-(1∙8∙2+1∙1∙(-1)+2∙3∙2)=-(16+4+3)-(16-1+12=-36

Минор и алгебраическое дополнение

 

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример

а) А= , М₁₁=1, М₁₂=2, М₂₁=3, М₂₂=5.

б) В= , М₁₁= =15, М₁₂= =3, М₁₃= =-6, М₂₁= =4, М₂₂= =-4, М₂₃= =-4, М₃₁= =-13, М₃₂= =-5, М₃₃= =-14.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется выражение равное

А_ij=(-1)^i+jМ_ij [1.6]

Пример

А= , А₁₁=(-1)²М₁₁=15, А₁₂=(-1)³М₁₂=-3, А₁₃=(-1)⁴М₁₃=-6, А₂₁=(-1)³М₂₁=-4, А₂₂=(-1)⁴М₂₂=-4, А₂₃=(-1)⁵М₂₃=4, А₃₁=(-1)⁴М₃₁=-13, А₃₂=(-1)⁵М₃₂=5,А₃₃=(-1)⁶М₃₃=-14.

 

 

Невырожденные матрицы

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица А^-1, удовлетворяющая условию А А^-1= А^-1А=Е [1.7], называется обратной матрицей к матрице А.

Обратная матрица вычисляется по формуле: А^-1=   [1.8], где Д_А- определитель матрицы А, А^*- присоединённая матрица её элементами являются алгебраические дополнения А^Т.

Пример

А=

1) Д_А=-8

2) А^Т=

3) А₁₁=-2, А₁₂=3, А₁₃=-7, А₂₁=2, А₂₂=1, А₂₃=-5, А₃₁=4, А₃₂=-2, А₃₃=-6.

4) А^*=

5) А^-1=-

6) А^-1А=- = =Е.

Системы линейных уравнений

Пример

1)  , х₁=10, х₂=0- совместная, определённая система;

2) , решений нет- несовместная система;

3) , х₁=к, х₂=10-2к- совместная, неопределённая система.

Пример

, А= - основная матрица;

 В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных; С= - расширенная матрица.

Пример

1) , А= , В= , Х= , А^-1= ;

применим формулу: Х= А^-1В= = , значит х=2, у=1.

2) , А= , В= , Х= , А^-1=- ;

применим формулу: Х= А^-1В=- = , значит х₁=2, х₂=0, х₃=-1.

Частные случаи

1) Пусть Д≠0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система имеет единственное решение.

2) Пусть Д=0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система не имеет решений.

3) Пусть Д=0, Д_Х1=0, Д_Х2=0, …, Д_Хn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).

Пример

, Д= =79, Д_Х1= =395, Д_Х2= =-158, Д_Х3= =237, х₁ = = 5, х₂ = =- 2, х₃= =3.

 

Пример

;

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 4, 3стр.+1стр 2;

затем получим нули в третьем столбике, для этого: 1стр.+3стр. 3, 2стр.+3стр. 17;

преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃.

~ ~ = , х₁=5, х₂=-2, х₃=3.

Теорема Кронекера- Капелли

Пусть А- основная матрица, В- расширенная матрица, тогда, если rangА= rangВ, то система имеет решения:

1) если rangА= rangВ=n, (где n-число неизвестных), то система имеет единственное решение,

2) если rangА= rangВ<n, (где n-число неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений;

если rangА≠ rangВ, то система не имеет решений.

Пример

Проверить системы на совместность и решить их методом Гаусса

1) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 2, 3стр.+1стр;

затем получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+3стр; rangА= rangВ=n- система имеет единственное решение; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃. ~ ~ = , х₁=-1, х₂=-1, х₃=-1.

2) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 3, 3стр.+1стр 2;

затем 3стр.-2стр; rangА=2, rangВ=3, rangА≠rangВ - система не имеет решений.

~ ~ .

3) ,

составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 5, 3стр.+1стр 4;

затем 2стр.-3стр; rangА=rangВ=2<n (n=3) - система имеет бесконечное множество решений; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х₁, х₂, х₃.

~ ~ = , х₁= , х₂, х₃= .

 

 

Глава I. Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.

а_ij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.

Пример       а) А= размер матрицы 2 2, а₁₁=1, а₂₁=3.

б) В= размер матрицы 4 3, а₃₃=13, а₄₁=4, а₁₂=0.

Виды матриц

Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.

Пример

А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.

Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.

Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.

Пример  А= - матрица строка; В= - матрица столбец.

Главная диагональ квадратной матрицы - это диагональ, которая начинается с элемента а₁₁.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример  Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.

Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей А^т.

Пример Если А= , тогда А^т= .

Действия над матрицами

Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , тогда А=В, если а_ij=в_ij.

Сложение матриц.

При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где с_ij= а_ij+в_ij. [1.1]

Пример А= , В= , А+В= .

Свойства сложения матриц.

1) А+В=В+А

2) (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+О=О+А=А

Умножение матрицы на число.

При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА=   [1.2].

Пример А= , λ=3, λА=

Свойства умножения матриц на число.

1) λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ

2) (λ+ β)А= λА+βА

3) λ(βА)=λβА

Умножение матриц.

1) Квадратные матрицы (одного размера)

Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с₁₁=а₁₁в₁₁+а₁₂в₂₁; с₁₂=а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂; с₂₁=а₂₁в₁₁+а₂₂в₂₁; с₂₂=а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂ [1.3].

Пример   а) = б) = .

Прямоугольные матрицы.

Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.

Пример а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;

б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;

в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.

Свойства умножения матриц.

1) АВ≠ВА

2) (АВ)С=А(ВС)

3) АЕ=ЕА=А

Определители