Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями.

Теорема.

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник.              АС и BD – диагонали, АС   BD, AC = d ₁, BD = d ₂.

Доказать:  

Доказательство:

I) По 4-му свойству площади:

II)

III)

Что и требовалось доказать.

Теорема об отношении площадей треугольников.

Теорема.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

 

I) Д.П.: Наложим так, чтобы совпали вершины А и А₁, лучи АС и А₁С₁, лучи АВ и А₁В₁ (). Проведем В₁С₁.                                ВН и С₁Н₁ .

II) Рассмотрим  У них общая высота ВН. Тогда по лемме

III) Рассмотрим  У них общая высота С₁Н ₁. Тогда по лемме

IV) Перемножим равенство из пункта II на равенство из пункта III:

 Сократим, и получим.

Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора.

Теорема.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:  – прямоугольный треугольник.   АС и ВС – катеты. АВ – гипотенуза. АС = b, ВС = а, АВ = с.

Доказать:

Доказательство:

I) Д.П.: Достроим треугольник до квадрата со стороной (а + b).

II) По 4-му свойству площади:

III)

Что и требовалось доказать.

Примеры.

1) Дано: а = 3см, b = 4см.

  Найти: с.

Решение:

 

с = 5см

Ответ: с = 5см.

2) Дано: а = 5см, b = 6см.

  Найти: с.

Решение:

 

Ответ: .

3) Дано: с = 50см, а = 14см.

  Найти: b.

Решение:

 

b = 48см

Ответ:   b = 48см.

Пифагоровы тройки чисел.

3, 4, 5 – Египетский треугольник.

a	b	c
3	4	5
6	8	10
5	12	13
9	12	15
7	24	25

a	b	c
9	40	41
15	20	25
11	60	61
13	84	85
15	112	113

      

 

 

Теорема, обратная теореме Пифагора.

Теорема.

Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов 2-х других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Дано:

Доказать:

Доказательство:  

I) Д.П.: Построим прямоугольный                     в котором   В₁С₁= ВС, А₁С₁=АС.

II)  (По построению).

По теореме Пифагора А₁В₁² = В₁С₁² + А₁С₁² = ВС² +АС² = АВ² (по условию). Тогда   А₁В₁² = АВ². Отсюда А₁В₁ = АВ.

III) Рассмотрим   и .

1) АВ = А₁В₁ (по доказанному во II-м).

2) АС = А₁С₁ (по построению).

3) ВС = В₁С₁ (по построению).

Из условий 1), 2), 3) получаем, что  =  по 3-м сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Значит,

Что и требовалось доказать.

Следствие.

В : АВ = с, ВС = а, АС = b. АВ = с – большая сторона.

1) Если с² = а² + b ², то  - прямоугольный.

2) Если с² < а² + b ², то  - остроугольный.

3) Если с² > а² + b ², то  - прямоугольный.

Площадь равностороннего треугольника.

Теорема.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле , где а сторона треугольника.

Дано:  - равносторонний. АВ = а.

Доказать: .

Доказательство:  

I) Д.П.: высота ВН.

II)

III) Рассмотрим - прямоугольный (по построению). АВ = а, ВН = h, АН = (по свойству равнобедренного треугольника).

ВН² = АВ² – АН² (по теореме Пифагора).

       

IV)

То есть

Что и требовалось доказать.

Пример.

Дано:  - равносторонний.    АВ = дм.

Найти:

Решение:

Ответ: