Полная мощность. Треугольник мощностей

 

Сделаем некоторые выводы.

Существует два типа элементов: активные элементы, всегда только потребляющие мощность и реактивные, средняя мощность потребления у которых равна нулю.

 

При синусоидальных напряжениях и токах все мгновенные мощности также являются синусоидальными функциями, частота их при этом в два раза больше, чем у тока и напряжения.

Активная мощность Р измеряется в Ваттах – Вт.

Реактивная мощность Q измеряется в варах (Вольт-Ампер реактивный, ВАр).

Q = Q_L- Q_C   (При последовательном соединении).

Полная мощность S измеряется в Вольт-Амперах (ВА).    

‌‌ S = P + jQ =

 

Для записи комплекса мощности через ток и напря-жение, необходимо использовать понятие комплексно сопряжённого числа.

Для тока – İ = I₁ + jI₂ = I e^{jψ i}

Комплексно сопряжённый ток: = I₁ - jI₂ = I e^{- jψ i}

Обозначается со знаком звёздочки.

 

Комплекс мощности:

S = Ù

S = U e^{jψ u} I e^{-jψ i} = U I e^{j(ψ u - ψ i )} = S e^jφ

Основные соотношения такие же, как для сопротивлений.

φ = arctg Q/P P = S cos φ Q = S sin φ

 

 

Q

φ

P

S

Pисунок 2.27 - Треугольник мощностей

Для наглядности можно это представить в виде треугольника мощностей, который подобен треугольнику сопротивлений, с таким же углом φ (рисунок 2.27).

 

 

Важную роль в промышленном потреблении энергии играет угол сдвига фаз φ. Большинство потребителей энергии имеют индуктивный характер нагрузки (электродвигатели и пр.), в связи с чем увеличивается cos φ. Увеличение реактивной мощности за счёт активной означает бесполезное расходование мощности электрогенераторов и, зачастую, огромные материальные затраты – например при работе крупных промышленных предприятий.

Для предотвращения этого, на предприятиях, параллельно основной, подключается дополнительная ёмкостная нагрузка – для компенсации. Косинус φ должен соответствовать определённым нормам и не превосходить 0,9 - 0,95.

 

Резонанс

 

Резонанс напряжений

 

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

L

→ i(t)

u(t)

Рисунок 2.28 - Последовательное соединение R, L, C

R

С

 

Полное сопротивление цепи:

Z = R+ jX = R+ j(X_L- X_C)

 

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

 

XС

φ

R

Z

Рисунок 2.29 - Сопротивления при последовательном соединении R, L, С: a – XL<XC, φ < 0, b - XL>XC, φ > 0

XL

XС

φ

R

Z

XL

a

b

 

 

UС

φ

UR

U

Рисунок 2.30 - Векторные диаграммы при последовательном соединении R, L, С: a – XL<XC, b - XL>XC

UL

UС

φ

UR

U

UL

a

b

I

I

 

На рисунках показаны варианты при X_L< X_C и X_L> X_C. Возможен вариант, когда X_L= X_C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом. При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром. В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом напряжений.

 

Условие резонанса: X_L= X_C => ω L=1/ω C

UС=UL

U=UR

Рисунок 2.31 - Векторная диаграмма при последовательном резонансе

I

 

 

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω₀:

 

 

Свойства схемы на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R;

 

- Ток в цепи максимальный I = I_max= U/ I;

 

- реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

 

 

 

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением;

 

- Напряжения на L и C равны: U_L= U_C= X_LI = ρ I

 

- Общее напряжение цепи: U = U_R= RI

 

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ> R.

 

- Величина Q = ρ/ R = U_L/ U = U_C/ U называется добротностью колебательного контура Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X_L линейно возрастает, X_С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω₀.

Z

XL

XC

ω

Рисунок 2.32 - Частотные характеристики последовательного колебательного контура

R

ω0

.

 

 

I

ω

Рисунок 2.33 - Частотная характеристика тока I = f (ω)

ω0

Зависимость тока от частоты I = f (ω)  - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максима-лен на частоте ω₀.

 

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ(ω). На частоте резонанса ω₀ сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω₀ цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω₀ – ёмкостной и φ > 0.

 

 

+π/2

ω

Рисунок 2.34 – Фазо-частотная характеристика последовательного колебательного контура

ω0

-π/2

0

φ(ω)

Резонанс токов

 

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

L

u(t)

Рисунок 2.35 - Параллельное соединение R, L, C

R

С

→ i(t)

↓iR(t)   ↓iC(t)   ↓iL(t)

 

 

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

 

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j(B_L- B_C)

 

Векторные диаграммы при B_C< B_L и B_C>B_L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

BL

φ

G

Y

Рисунок 2.36 - Проводимости при параллельном соединении R, L, С: a – BC <BL, φ > 0, b - BC > BL, φ < 0

BC

BL

φ

G

G

BC

a

b

 

IL

φ

IR

I

Рисунок 2.37 - Векторные диаграммы при последовательном соединении R, L, С: a – BC < BL, φ > 0, b - BC > BL, φ < 0

IC

IL

φ

IR

I

IC

a

b

U

U

 

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

IС=IL

I=IR

Рисунок 2.38 - Векторная диаграмма при параллельном резонансе

U

 

 

Условие резонанса: B_L= B_C => 1/ω L=ω C

Формула для частоты резонанса аналогична:

 

 

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

 

- Ток в цепи минимальный I = I_min= UG;

 

- реактивные сопротивления и проводимости равны:

 

 

 

- Токи через L и C равны: I_L= I_C;

 

- Добротность контура: Q = ρ/ R = Y/ G;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

 

Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.

 

Y

ВL

BC

ω

Рисунок 2.39 - Частотные характеристики параллельного колебательного контура

G

ω0

 

 

+π/2

ω

Рисунок 2.41 – Фазочастотная характеристика параллельного колебательного контура

ω0

-π/2

0

φ(ω)