Понятие векторного произведения векторов

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, то есть

;

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Для решения большинства типичных задач на векторное произведение векторов достаточно знать первое из перечисленных требований и относящуюся к нему формулу. Поэтому вскоре и перейдём к примерам решения задач. Но требование ортогональности и понимание сути правых и левых троек векторов могут потребоваться при ответе на теретические вопросы, так что этих вопросов коснёмся, но в завершении изучения векторного произведения векторов, перед параграфом о смешанном произведении.

Пример 1. Найти длину векторного произведения векторов векторов и , если

Решение. Усвоим окончательно, что данные в условии задачи величины в прямых скобках - это длины векторов, они же их модули. Синусы углов между векторами можно найти в справочниках по тригонометрии, в данном случае . Поэтому получаем:

В чём главное отличие векторного произведения двух векторов от уже рассмотренного нами скалярного произведения? В том, что скалярное произведение двух векторов - это число, а векторное произведение векторов - это вектор.

Пример 2. Вычислить векторное произведение векторов , если их длины и , а скалярное произведение .

Решение. Была бы очень простая задача, как в примере 1, но нам не дан синус угла между векторами. Однако из отношения скалярного произведения к произведению длин векторов можем найти косинус этого угла:

.

Синус угла между векторами можем выразить через косинус по известному из школьного курса тригонометрическому тождеству:

.

Теперь для вычисления векторного произведения векторов у нас есть всё. Вычисляем:

.

Свойства векторного произведения векторов

Геометрические свойства

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю векторного произведения этих векторов.

Теорема 2. Длина (или модуль) векторного произведения векторов равна площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и .

Следствие. Площадь треугольника, построенного на приведённых к общему началу векторах и , равна половине длины векторного произведения этих векторов.

Пример 3. Найти

1) площадь параллелограмма, построенного на векторах и из примера 1;

2) площадь треугольника, построенного на тех же векторах.

Решение:

1) из примера 1, где была найдена длина векторного произведения данных векторов, получаем,

2) требуемая площадь треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, или, что то же самое, половине площади параллелограмма, т.е.

Пример 4. Вычислить площадь треугольника ABC, если известны координаты его вершин:
A (3; 1; -1), B (-1; 0; 2), C (3; 2; -2).

Решение. Найдём координаты векторов и :

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, на которых он построен. Найдём векторное произведение через координаты векторов:

То есть, координаты вектора, являющегося векторным произведением исходных векторов:

, откуда найдём его длину:

Теперь получим требуемую сумму треугольника:

.

Алгебраические свойства

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство);

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство);

4. для любого вектора .