Основные формы реализации передаточных функций

 цифровых фильтров

 

Существует весьма большое число различных форм реализации

рекурсивных и нерекурсивных ЦФ. При построении структурных схем, соответствующих этим формам реализации, используются обозначения операций, применяемые в теории управления. Операция задержки отсчетов сигнала на  шагов дискретизации  обозначается знаком , операция сложения нескольких слагаемых - знаком , а операцию умножения на константу - знаком x.

Для сравнительного анализа сложности реализации различных форм передаточных функций обычно используют следующие реализационные характеристики, похожие на реализуемые характеристики сверток и ДПФ:

 - число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимой для хранения отсчетов входного сигнала и промежуточных результатов;

 - число ячеек постоянной памяти, необходимой для хранения коэффициентов фильтра;

 - число умножений, выполняемых при вычислении одного отсчета выходного сигнала;

 - число алгебраических сложений двух слагаемых, которые должны быть выполнены в фильтре для получения одного отсчета выходного сигнала.

Эти же характеристики могут быть использованы и для оценки вычислительной сложности алгоритмов фильтрации (1) и (2).

Для рекурсивных фильтров можно выделить четыре основные формы реализации: прямую, каноническую, каскадную (последовательную) и параллельную.

Прямая форма (рис. 1) соответствует непосредственной реализации

разностного уравнения (1) или передаточной функции (4). Для нее

Каноническая форма (рис. 2 для случая ) соответствует замене (1) эквивалентной системой разностных уравнений:

Рис. 1. Прямая форма

 

Введение вспомогательной последовательности позволяет объединить часть элементов задержки и уменьшить их число по сравнению с прямой формой реализации. Остальные реализационные характеристики при этом остаются без изменения.

Рис. 2. Каноническая форма

 

При последовательной форме (рис. 3) используется способ представления  в виде произведения типовых звеньев не выше второго порядка:

Биквадратное звено становится универсальным блоком для построения РЦФ любого порядка (порядко м РЦФ называют максимальное значение степени знаменателя передаточной функции фильтра). Реализационные характеристики этой формы во многом зависят от числа используемых биквадратных звеньев.

 

Рис. 3. Последовательная форма

 

Параллельная форма (рис. 4) основана на эквивалентном представлении   суммой типовых звеньев:

которые могут быть реализованы в виде биквадратного блока при . Реализационные характеристики здесь также сильно зависят от числа типовых блоков.

Все рассмотренные формы реализации РЦФ при одних и тех же входных данных и бесконечной разрядности представления чисел в ЦФ дают абсолютно одинаковые результаты, так как получены путем эквивалентных математических преобразований одного и того же исходного уравнения (4). Однако при ограниченной разрядной сетке представления чисел, что всегда имеет место в реальных ЦФ, эти формы приведут к различному результату, так как отличаются механизмом преобразования погрешностей округления. Каскадная форма, как правило, обеспечивает наименьший уровень собственных шумов фильтра.

Рис. 4. Параллельная форма

 

Для нерекурсивных ЦФ возможны прямая и каскадная формы реализации. Прямая форма (рис. 5) соответствует непосредственной реализации НЦФ согласно (2) или (5). Для нее

 

Рис. 5. Прямая форма

 

Каскадную форму легко получить из каскадной формы РЦФ, если в биквадратных звеньях положить все  и  равными нулю. Для весьма важного типа нерекурсивных фильтров с линейной фазочастотной характеристикой возможны специальные формы реализации, учитывающие свойства симметрии или антисимметрии коэффициентов фильтра . На рис. 6 приведена структурная схема фильтра, соответствующая разностному уравнению (2) при  и четном . В таких формах реализации число умножений уменьшается практически вдвое. В два раза сокращается и число хранимых в памяти фильтра констант.

 

Рис. 6.Специальная форма