ТЕМА 5. Уравнения движения и уравнения энергии

Уравнения Эйлера и уравнения Навье - Стокса. Конечно – разностные формы уравнений Навье – Стокса и Рейнольдса, общая схема применения численных методов и их реализации на ЭВМ. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения. Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах. Уравнения Бернулли для потоков идеальной и несжимаемой вязкой жидкостей. Подобие гидромеханических процессов.

[1, с. 53-60], [2, с. 39-45], [7, с. 76-78, 81-89, 95-103, 581-588], [9, с. 53-68]

Иметь представление об уравнениях количества движения и момента количества движения. Уравнения движения получены на основе второго закона Ньютона в рамках вытекающей из него теоремы об изменении количества движения жидкости, заключенной в движущемся объеме. Уяснить, что уравнения Эйлера – это дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, а уравнение Навье – Стокса – дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. Они устанавливают связи между массовыми и поверхностными силами, действующими в жидкостях. При изучении этих уравнений следует усвоить физический смысл всех входящих в них величин. Уравнения Эйлера получены им в 1755 г., но и по сегодняшний день не имеют общего аналитического решения. Уравнения Навье – Стокса имеют ограниченное число точных решений (закон Стокса, закон Гагена – Пуазейля). Иметь представление как об алгоритме перехода от дифференциальных уравнений и Навье – Стокса, и Рейнольдса к их конечно – разностным аналогам, так и об особенностях их реализации на ЭВМ. Знать интеграл Бернулли и иметь представление об его практической значимости.

Уравнения Бернулли для идеальной и несжимаемой вязкой жидкости представляют собой частный случай закона сохранения и превращения энергии.

В одной из форм записи все члены уравнений Бернулли отнесены к единице веса жидкости, поэтому все виды энергии в этом уравнении имеют линейную размерность. Следует уяснить геометрический и физический (энергетический) смысл уравнения в целом и его отдельных членов, а также обратить внимание на условия применимости уравнения Бернулли.

При распространении уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости на поток реальной жидкости возникает ряд трудностей, которые преодолеваются введением соответствующих ограничений и поправок. Уравнение Бернулли составляется для двух живых сечений потока, в которых течение параллельноструйное или плавноизменяющееся. Живые сечения здесь плоские, поэтому отсутствуют ускорения вдоль живых сечений, а из массовых сил действует только сила тяжести. Следовательно, в этих сечениях (участках) справедливы законы гидростатики, в частности постоянство гидростатического напора для всех точек живого сечения относительно любой плоскости сравнения. Между плавно изменяющимися течениями (участками) потока, связанными уравнением Бернулли, поток может быть и резко изменяющимся. При определении кинетической энергии потока по средней скорости в данном сечении вводится поправка в виде коэффициента Кориолиса α, учитывающего неравномерность распределения местных скоростей по живому сечению.

При решении практических инженерных задач уравнение Бернулли и уравнение расхода используется совместно. При этом они составляют систему из двух уравнений, позволяющую решать задачи с двумя неизвестными.

Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения полной механической энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом гидравлических потерь. Гидравлическими потерями называется работа сил трения, затраченная на перемещения единицы веса жидкости из одного сечения в другое. Энергия потока, израсходованная на работу сил трения, превращается во внутреннюю энергию и рассеивается в жидкости. Необходимо иметь представление о диаграмме Бернулли.

В гидравлике широко применяется метод моделирования, когда исследуется не само явление или установка, а их модель, обычно меньших размеров. Основой моделирования является теория гидродинамического подобия. Для установившегося движения однородных несжимаемых жидкостей необходимым и достаточным условием гидродинамического подобия является геометрическое, кинематическое и динамического подобия потока.

Для полного гидродинамического подобия необходима пропорциональность всех сил, действующих в потоке, но подобие по одним силам часто исключает подобие по другим силам. Поэтому считается достаточным получение приближенного подобия по силам, преобладающим в данном потоке. Критериями такого подобия являются критерий Рейнольдса (преобладание сил трения), критерий Фруда (силы тяжести), критерий Эйлера (силы давления).

Вопросы для самопроверки

1. Укажите различие между уравнениями Эйлера и уравнениями Навье – Стокса. 2. Чем обусловлена необходимость использования численных методов при решении как уравнений Навье – Стокса, так и уравнений Рейнольдса? 3. Для каких режимов движения жидкости применимы уравнения Навье – Стокса и уравнения Рейнольдса? 4. Поясните общую схему применения численных методов к решению дифференциальных уравнений. Каковы особенности реализации данных методов на ЭВМ? 5. Запишите уравнение Бернулли для элементарной струйки (потока) идеальной жидкости. Каков физический смысл входящих в него слагаемых? 6. Чем обусловлены различия в записи уравнений Бернулли для идеальной и несжимаемой вязкой жидкостей? 7. Объясните наблюдаемую вариативность размерности слагаемых в различных формах записи уравнения Бернулли. 8. Поясните порядок построения диаграммы Бернулли. Какова ее практическая значимость? 9. Каковы условия однозначности; их предназначение? 10. Каковы достоинства диаграммы Бернулли? 11. Сформулируйте условия гидродинамического подобия потоков жидкости. 12. Объясните физический смысл критериев Рейнольдса, Фруда и Эйлера.