Определение и простейшие свойства измеримой функции

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

E (f ³ a) =

откуда следует измеримость множества E (f ³ a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

E (f = a) = E(f ³ a) – E(f > a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f ³ a).

Замечание.  Легко показать, что если хоть одно из множеств

E (f ³ a), E (f £ a), E (f < a)

оказывается измеримым при всяком а, то функция f (x) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества Е (f³а). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е (f>a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f (x), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f (x) + k, 2) kf (x), 3) ç f (x) ç, 4) f ² (x), и если f (x) ¹ 0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x) + k вытекает из соотношения Е (f+ k >a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих k  измеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того, что

E (f² > a) =

вытекает измеримость функции f ² (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8. Функция f (x), заданная и непрерывная на сегменте Е= , измерима.

 Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f£ a)

замкнуто. Действительно, если x₀ есть предельная точка этого множества и x_n®x₀ (x _n ÎF), то f(x_n) £a  и, в силу непрерывности f(x), будет  f(x₀ ) £a, т.е. x₀ ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция j _м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция j_M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (jм > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции j_М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

 

Но так как

то f ~g, что и требовалось доказать.

Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство единственной предельной функции для сходимости по мере, мы должны были бы условиться считать эквивалентные функции за тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах теории функций, т.е. в тех вопросах, где все свойства функций изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обладает или не обладает тем или другим свойством. В интегральном исчислении мы надем много примеров подобного подхода к вещам.

Хотя сходимость по мере общее сходимости почти везде, имеет место все же следующая теорема.

Теорема 4 (Ф.Рисс). Пусть { fn (x)} последовательность функций, которая сходится по мере к функции f (x). В таком случае существует подпоследовательность

fn₁(x), fn₂(x), fn₃(x),... (n₁<n₂<n₃<...),

сходящаяся к функции f (x) почти везде.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем последовательность положительных чисел s₁>s₂>s₃>¼, для которой lim s_k=0.

Пусть, далее, h₁+h₂+h₃+¼ (h_k>0) есть сходящийся положительный ряд.

Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов

n₁ < n₂ < n₃ <...                               (*)

следующим образом: обозначим через n₁ натуральное число, для которого

mE(½f_n1-f½³s₁)<h₁.

Такое число обязательно существует, ибо

mE(½f_n-f½³s₁)®0 при n®¥.

Затем через n₂ обозначим то натуральное число, для которого

mE(½f_n2-f½³s₂)h₂, n₂>n₁.

Вообще через n_k мы обозначаем такое число, что

mE(½f_nk-f½³s_k)< h_k, n_k>n_k-1.

Последовательность (*), таким образом, построена.

Теперь установим, что почти везде на множестве E будет

     (**)

Действительно, пусть

, .

Так как R₁ÉR₂ÉR₃É..., то (теорема 12)

mR_i®mQ

C другой стороны, очевидно, что так что mR_i®0 и, стало быть, mQ=0.

Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.

Пусть x₀ Î E - Q. Тогда x₀ R_io. Иначе говоря, при k ³ i₀

x₀ E(|f_nk-f|³s_k),

и, следовательно,

|f_nk(x₀) – f(x₀₎|<s_k,   (k ³ i₀)

и, поскольку s_k®0, ясно, что f_nk(x₀) ®f(x₀).

Теорема доказана.

Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.

Теорема 5 (Д.Ф.Егоров). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f ₁ (x)^, f ₂ (x)^, f ₃ (x), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f (x):           

В таком случае, для любого d >0 существует такое измеримое множество Е _d Е, что:

1) mE _s > mE - d;

2) на множестве E _d стремление(*) происходит равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет

                   (1)

где .

Но легко видеть, что

E (|f-y| ³ s) Ì E (f ¹ g) + E (|g-y| ³ s),

Так что функция y(x) решает задачу.

Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f (x), заданной на сегменте [ a, b ], существует последовательность непрерывных функций y _n (x), сходящаяся по мере к функции f (x).

Определение и простейшие свойства измеримой функции

 

Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа -  и + . Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами

                                               - <a<+ ,

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

+ ±a=+ , + +(+ )=+ , + -(- )=+ ,

- ±a=- ,  - +(- )=- ,     - -(+ )=- ,

½+ ½=½- ½=+ ,        + ×a=a×(+ )=+ ,

    - ×a=a×(- )=- ,   если a>0,

+ ×a=a×(+ )=- ,

- ×a=a×(- )=+ ,   если a<0

0×(± )=(± )×0=0,

(+ )×(+ )=(- )×(- )=+ ,

(+ )×(- )=(- )×(+ )=- ,

=0.

Здесь a обозначает вещественное конечное число. Символы

+¥-(+¥),    -¥-(-¥),     +¥+(-¥),        -¥+(+¥).

,

мы считаем лишенными смысла.

Имея дело с функцией f (x), заданной на множестве E, мы будем символом

E(f>a)

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(f³а), Е(f=а), Е(f£а), Е(а<f£b)

и т.п. Если множество, на котором задана функция f(x), обозначено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы соответственно будем писать

А(f>а),    В(f>а)

и т.п.

Определение 1. Функция f(x), заданная на множество Е, называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при любом конечном а измеримо множество

Е(f>а).

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Теорема 2. Пусть f (x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f (x), рассматриваемая только для x ÎА, измерима.

Действительно, А(f>а) =А×Е (f>а).

Теорема 3. Пусть f (x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Е _k:

                            E = ×

Если f (x) измерима на каждом из множеств E_{R .}, то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если

mE (f¹g)=0

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так: 

f (x) ~g(x).

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е₀ множества Е. Если mЕ₀ = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е₀ может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f (х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g (x) ~ f (x), то g (x) также измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f ¹ g), B = E – A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f (x) = c, то функция f (x) измерима.

Действительно,

E (f > a) =

 

Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с₀ = а< с₁<с₂<…<с_n = b

на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (с_k, c_{k + 1}) при k = 0, 1, …., n –1) функция f(x) постоянна. Легко понять, что из теоремы 5 вытекает

Следствие. Ступенчатая функция измерима.

Теорема 6. Если f (x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества

E (f ³ a), E (f = a), E (f £ a), E (f < a),