Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций

 

j = N(l, m) Е(e);

 

тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k – произвольное число, которое будем считать положительным и целым)

 

 

Первое уравнение имеет решение: Е = A cos k e + В sin k e;

второе, если положить N = L(l) М(m) и разделить переменные, может быть приведено к системе уравнений

 

 

имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функцииЛежандра[4]

 

 (14)

 

Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при l ® ¥, получим общее выражение потенциала скоростей

 

 

здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности V _¥, направленной параллельно оси Оу (Приложение 1, б).

Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала

A_n1 = с V _¥ С _n, A_n2 = A_n3 =… = 0, B_n1 = В_n2 =… = 0,

 

т.е. довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того, представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию l, m и e

 

 

получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V _¥ вдоль оси Оу потока:

 

 

или, используя определение присоединенных функций Лежандра (14),

 

                       (15)

 

Для определения постоянных С_n, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость V_n = ¶ j / ¶ n и приравнивать ее нулю.

Несколько облегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (l, m) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):

 

 

или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,

 

 

Отсюда вытекает искомое граничное условие

 

                                           (16)

 

в котором l является заданной функцией m согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные ¶ j / ¶ l, ¶ j / ¶ m и используя (15) получаю:

 

 

 

Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Р_n и Q_n

 

получим после простых приведений

 

 

 

Подставляя эти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе

 

 

получим после очевидных сокращений

 

 

Имея в виду, что на поверхности тела l представляет заданную функцию от m, перепишем граничное условие в окончательной форме так:

 

                            (17)

 

 

3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения

 

В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.

Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом. Изложим его основную идею[5].

Основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов А_n при продольном и С_n – при поперечном обтекании тела. Чем проще будет связь между l и m, определяющая форму контура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов А_n, С_n можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством l = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющего точки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства l = const.

Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений l, мало превышающих значение l = сhx = 1 или x = 0, соответствующее отрезку оси Oz, соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Q_n(l) и dQ_n/d l при l, лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых x будут иметь

место равенства

 

                                        (18)

 

где g_n и d_n – малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малых x все функции Q_n и dQ_n/d l в первом приближении не зависят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания (9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид

 

                                                    (19)

 

где производная dP_n/d m представляет известную функцию величины m = cos h. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов n = m, можно, пользуясь выражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество

 

                                  (20)

 

из которого можно вывести выражения коэффициентов A_n через a_n. Так, например, при m = 5 имеем

 

A₁ = a₁ – 3/5 a₃ + 3/35 a₅, A₂ = a₂ – 9/7 a₄, A₃ = 8/5 a₃ – 32/15 a₅,

A ₄ = 16/7 a ₄, A ₅ = 64/21 a ₅.

Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах

 

                                              (21)

 

определим тем самым числа а_n, а уже после этого, согласно тождеству (20), и величины коэффициентов A_n, что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточные члены g_n и d_n, что приведет ко второму и следующим приближениям.

Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура l изменяется в пределах от 1 + ½ x²_min до 1 + ½ x²_max; при этом m остается в пределах ±1. Таким образом, можно считать, что производная d l /d m имеет порядок x²_max, т.е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина

 

 

имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина

 

 

мала по сравнению с величиной . Действительно,

 

Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеет при малых x порядок 1/x², второй – ln 1/x.

Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где x мало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть заменено на приближенное

 

                        (22)

 

Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19), видим, что между искомыми коэффициентами A_n и C_n существует простое соотношение

 

C_n = -2 A_n / n (n +1).                                         (23)

 

В первом приближении обе задачи – продольного и поперечного обтекания – решаются одновременно и сравнительно легким путем. При обычных значительных удлинениях тел вращения вполне можно довольствоваться первым приближением.

Определив коэффициенты A_n и C_n, найду выражения потенциалов и компонент скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле. Отмечу, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи нее можно пользоваться для Q_n и dQ_n/d l приближенными выражениями (18). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела l возрастает и формулы (18) становятся все менее и менее точными.