Компьютер в контуре управления

Компьютер в контуре управления можно представить в виде последовательное соединение трех звеньев:

1) импульсного элемента, который выбирает из непрерывного сигнала ошибки  значения  в моменты квантования  (при целых ); импульсный элемент моделирует аналого-цифровой преобразователь (АЦП);

2) линейного цифрового фильтра, который преобразует дискретную последовательность  в управляющую последовательность ; свойства этого фильтра определяют закон управления;

3) восстанавливающее устройство (экстраполятор), которое восстанавливает непрерывный сигнал управления  из последовательности ; экстраполятор моделирует цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), чаще всего используется фиксатор нулевого порядка, который удерживает постоянное значение  в течение очередного интервала квантования:

.

Схема цифрового регулятора показана на рисунке:

Блок ИЭ обозначает импульсный элемент (АЦП), блок ЦФ – цифровой фильтр, блок Э – экстраполятор (ЦАП). Точечные линии обозначают дискретные сигналы, сплошные линии – непрерывные сигналы.

Экстраполятор

Экстраполятором называют устройство, которое восстанавливает непрерывный сигнал управления по дискретной последовательности значений , поступающих с выхода цифрового фильтра в моменты времени . Обычно вычислительное запаздывание (время, необходимое на расчет очередного значения ) включают в модель объекта управления, поэтому считается, что цифровой фильтр выполняет обработку данных мгновенно.

В простейшем случае ЦАП, получив новый управляющий сигнал  от цифрового фильтра, просто удерживает (фиксирует) его в течение интервала квантования (до получения следующего значения ). Такой экстраполятор называется фиксатором нулевого порядка (англ. zero- order hold, ZOH).

 

Фиксатор нулевого порядка

Фиксатор нулевого порядка восстанавливает сигнал по правилу

.

Здесь  – так называемое локальное время, прошедшее с момента последнего срабатывания импульсного элемента.

Предположим, что дискретная последовательность получена в результате квантования некоторого непрерывного сигнала. Восстановленный сигнал будет представлять собой «ступеньки», высота которых совпадает с истинным значением сигнала в начале интервала. Если провести линию через середины этих «ступенек», получается сигнал, смещенный относительно исходного на . Поэтому говорят, что последовательно примененные операции квантования и восстановления сигнала с помощью фиксатора нулевого порядка приводят к его запаздыванию на половину периода.

Существуют и более сложные экстраполяторы, учитывающие несколько последних значений последовательности , но они используются на практике крайне редко из-за проблем в реализации.

Цифровые фильтры

Цифровые фильтры используются для уменьшения случайных ошибок в измерениях. Каждый тип фильтр имеет свои преимущества и недостатки. Некоторые значительно подавляют шум, но имеют значительную задержку отклика. Другие не имеют задержки, но плохо фильтруют те или иные шумы. Есть фильтры, которые хорошо фильтруют шум и имеют небольшую задержку, но плохо реагируют на шум произвольной частоты или шум, связанный с большой динамикой технологического процесса. Выбор между фильтрацией шума и задержкой отклика фильтра является не тривиальной задачей. Кроме этого, надо учитывать, что помимо случайного шума в измерениях может присутствовать систематические ошибки, такие как сдвиг, дрейф, неисправность прибора измерения, потеря точности. Так же ошибки могут возникать в случае быстрых изменений в процессе, когда приборы не могут измерять при тех или иных условиях.

Фильтр скользящего среднего – это классический фильтр, обобщенное выражение можно записать в виде:

,

 где N – число точек данных обрабатываемых фильтром, w_i- вес каждого измерения x_i, в начальный момент времени все значения x_i равняются x₀, затем добавляются все новые значения x_i, после того как значений x_i будет больше N – старые значения x_i отбрасываются. В простейшем случае можно присвоить всем w_i значения равные 1/N, тогда для работы фильтра нужно N измеренных (не отфильтрованных) значений x_i, которые суммируются и делятся на N, т.е. вычисляется скользящее среднее.

Пусть цифровой фильтр преобразует входную дискретную последовательность

в выходную

В реальных фильтрах для расчета очередного значения управляющей последовательности  в момент времени  используется конечное число прошлых значений входного и выходного сигналов, хранящихся в оперативной памяти:

Здесь – некоторая функция своих переменных и  – целое число, называемое порядком фильтра. Чаще всего используют линейные законы управления, которые описываются формулой

,

где  и  – вещественные числа. Уравнение такого вида называют линейным разностным уравнением регулятора. Оно аналогично дифференциальному уравнению непрерывной системы, но входной и выходной сигналы изменяются в дискретном времени, т.е., определены только в моменты времени .

Как и для линейных непрерывных систем, для описания линейных цифровых фильтров (линейных дискретных систем) можно использовать операторный метод. В литературе чаще всего используется оператор сдвига вперед

, .

Обозначив через обратный оператор, получим  и . Тогда, перенося в левую часть все члены, зависящие от выходной последовательности, можно записать уравнение регулятора в операторной форме

.

Отношение

называется дискретной передаточной функцией цифрового фильтра. Таким образом, в операторной форме получаем .

Фактически задача переоборудования сводится к тому, чтобы заменить передаточную функцию  непрерывного регулятора дискретной передаточной функцией цифрового фильтра  так, чтобы сохранить все существенные свойства системы.

 

Квантование сигналов

Квантование (англ. sampling) – это получение выборки значений аналогового сигнала. Например, квантование синусоидального сигнала

(здесь A – амплитуда сигнала, w – угловая частота в рад/с, а j – фаза в радианах) с периодом T состоит в том, что из него выбираются значения

при целых значениях k. Последовательность значений

представляет собой оцифрованный сигнал.

Вся информация о значениях сигнала между моментами квантования теряется. Однако согласно теореме Котельникова-Шеннона сигнал всё же можно точно восстановить, если частота квантования по крайней мере в 2 раза превышает максимальную частоту в спектре сигнала. То есть, для этого синусоиду с частотой w нужно квантовать с частотой большей, чем 2w.

При некотором выборе частоты квантования и фазы в результате квантования синусоиды все измеренные значения могут оказаться нулевыми. Действительно, уравнение

имеет решение , где k – целое число. Выбирая период квантования  получаем нужное равенство при  (в моменты квантования). Если же фаза сигнала j не равна нулю, измерения нужно выполнять не в моменты , а в моменты с соответствующим сдвигом во времени t ₀, так чтобы выполнилось условие

.

При выборе  получаем , но это отрицательная величина при положительном значении j. Чтобы получить t ₀ > 0, можно принять , где m – любое целое число, например, 1 (в этом случае время сдвига получается минимальное).