Арифметика в позиционных системах счисления

любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций.

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения цифр:

 

х	0	1
0	0	0
1	0	1

 

 

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно  проста.  Так как  1₂ + 1₂ = 10₂, то 0 остается в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.

 

 

Например,

1001₂           11111₂  1010011,111₂

+ 1010 ₂     +        1 ₂ +   11001,110 ₂

 10011₂            100000₂   1101101,101₂

 

вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.

Например,

_10111001,1₂          _110110101₂

10001101,1 ₂          101011111 ₂

10101100,0₂                     001010110₂

 

Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Например,

11001₂                   11001,01₂

    х 1101 ₂                   х 11,01 ₂

    11001                     1100101

+ 11001              + 1100101

   11001                   1100101

101000101₂          1010010,0001₂

 

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Например,

101000101₂ | 1101₂

    - 1101           1101₂

         1110

 - 1101

     1101

-   1101

           0

ниже приведены таблицы сложения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

 

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

 

Например, сложить числа 215,4₈ + 73,6₈ и 8D,8₁₆ + 3B,C₁₆

 

1 1 1                           1 1     

215,4                        8D,8

+  73,6               + 3B,C

     311,2                                C9,4

 

Умножение в восьмеричной системе

x	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

 

 

Умножение в шестнадцатеричной системе

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1a	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1c	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1e	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Например, перемножить числа 163₈ х 63₈ и 73₁₆ х 33₁₆

 

163  73

х     63                 х  33

531 159

+ 1262                   +  159

13351                   16Е9

 

Деление

Деление в данных системах счисления, как и в любой другой позиционной системе счисления, производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе.

Например, разделим числа 3351₈: 163₈ и 16Е9₁₆: 73₁₆

_ 3351 | 163                      _ 16E9 | 73

1262 63                159 33

 _ 531                              _ 159

531                               159

0 0

 

Варианты

 

Выполнить действия в двоичной системе счисления.

 

1. а) 10010011₂ + 101101₂;            б) 100001000₂ – 10110011₂;
в) 100001₂ х 1111,11₂;     в) 111010001001₂: 111101₂;

 

2. а) 1011101₂ + 11101101₂; б) 110101110₂ – 10111111₂;
в) 100011₂ х 1111,01₂;     в) 11111100101₂: 101011₂;

 

3. а) 11101001₂ + 10011101₂; б) 11011011₂ – 110101110₂;
в) 100101₂ х 111011₂;      в) 100011011100₂: 110110₂;

 

4. а) 110010,11₂ + 110110,11₂; б) 11110011₂ – 10010111₂;
в) 100111₂ х 111001₂;      в) 111010001000₂: 111100₂;

 

5. а) 10110111₂ + 10011011₂; б) 11001100₂ – 101110110₂;
в) 111110₂ х 100010₂;      в) 101111001101₂: 110101₂;

 

6. а) 10010111₂ + 1011100₂; б) 11001011₂ – 110100110₂;
в) 111100₂ х 100100₂;      в) 100011111111₂: 101111₂;

 

7. а) 11010011₂ + 11011011₂; б) 110000110₂ – 10011101₂;
в) 111010₂ х 100110₂;      в) 100010000111₂: 111011₂;

 

8. а) 111011,11₂ + 101111,11₂; б) 1100101,101₂ – 10101,111₂;
в) 100111₂ х 111001₂;     в) 101011110101₂: 110111₂;

 

9. а) 10011 + 1101;     б) 111100₂ – 10111₂;
в) 101,1 х 10,11      в) 1111: 11

 

10.  а) 11011₂ х 11111₂; б) 100011₂ – 11001₂;
в) 1011₂ х 1001₂;     в) 110101110₂: 1010₂;

 

Представление информации в компьютере

 

Представление символьной информации

для представления текстовой (символьной) информации в компьютере используется алфавит мощностью 256 символов. Один символ такого алфавита несет 8 бит информации, т.к. 2⁸ = 256. но 8 бит = 1 байту, следовательно, двоичный код каждого символа в компьютерном тексте занимает 1 байт памяти.

Пример 1. сколько бит памяти компьютера займет слово «Микропроцессор»?

  Решение. Слово состоит из 14 букв. Каждая буква является символом компьютерного алфавита и поэтому занимает 1 байт памяти. Слово займет 14 байт = 112 бит памяти, т.к. 1 байт = 8 бит.

 

Варианты

1. Если досье на преступников занимают 45 мегабайт и каждое из них имеет объем 12 страниц (48 строк по 64 символа в каждой), то число досье равно…?

2. Если вариант текста в среднем имеет объем 20 килобайт (на каждой странице текста 40 строк по 64 символа в каждой), то количество страниц в тексте равно…?

3. Сведения о сотруднике хранятся в виде строки из 2048 символов. Сведения обо всех 8192 сотрудниках можно разместить на минимальном числе дискет емкостью 1.2М, равном…?

4. Максимальное количество страниц книги (32 строки по 64 символа), которое поместится в файле объемом 640 Кбайт, равно…?

5. Объем текстовой информации в сообщении на 40 страницах (на странице 40 строк и 80 символов в строке) равен…?

6. Максимальное количество книг (каждая объемом 200 страниц, на каждой странице 60 строк, 80 символов в строке), полностью размещенных на лазерном диске емкостью 600 Мбайт, равно…?

7. сколько килобайтов составит сообщение, содержащее 12288 битов?

8. Вычислите объем текстовой информации в мегабайтах «Современного словаря иностранных слов» из 740 страниц, если на одной странице размещается в среднем 60 строк по 80 символов.

9. В текстовом режиме экран разбивается на 25 страниц по 80 символов в строке. Определите объем текстовой информации, занимающий весь экран монитора.

10. Подсчитайте объем информации в романе А. Дюма «Три мушкетера» и определите, сколько близких по объему произведений можно разместить на одном лазерном диске емкостью 600 Мбайт. В романе 500 страниц, на каждой странице 48 строк, в каждой строке 53 символа.