Коэффициент усиления в установившемся режиме

Одна из важнейших характеристик линейной системы – коэффициент усиления в установившемся режиме или статический коэффициент усилении (static gain, DC - gain). Его можно определить как установившееся значение сигнала выхода при постоянном входном сигнале, равном единице. Размерность этой величины равна отношению размерностей сигналов выхода и выхода.

Если задана передаточная функция, для вычисления  надо подставить в нее , поскольку переменная  соответствует оператору дифференцирования. Рассмотренному выше уравнению можно сопоставить передаточную функцию

.

Тогда

.

Если система содержит интегрирующее звено (передаточная функция имеет полюс в точке ), этот предел равен бесконечности, то есть, при постоянном сигнале выход бесконечно увеличивается или уменьшается, не достигая установившегося режима

Чтобы найти статический коэффициент усиления модели f в Scilab, используется команда

--> k = horner (f, 0) // подставить s = 0

Чтобы построить частотные характеристики в Scilab, надо сначала создать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функции linspace (равномерное распределение точек по линейной шкале) и logspace (равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда

>> w = linspace (0, 10, 100);

строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а команда

>> w = logspace (-1, 2, 100);

– массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в интервале от  до .

Частотная характеристика на сетке w для линейной модели f (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «нули-полюса») вычисляется с помощью функции repfreq:

>> fResp = repfreq(f, w/(2*%pi));

Функция repfreq принимает два аргумента: модель системы и массив частот в герцах. Поскольку массив w – это угловые частоты (w = 2p f), для получения массива «обычных» частот нужно разделить все значения на 2p. Дальше можно найти модуль частотной характеристики:

>> Aw = abs (fResp);

Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команду Scilab

>> plot 2 d (" ln ", w, Aw)

Первый аргумент «ln» говорит о том, что используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот). Для вычисления фазы в градусах используется команда

>> phi = phasemag (fResp);

после чего можно строить ФЧХ, например:

>> plot 2 d (" ln ", w, phi);

Частота, после которой значение АЧХ падает ниже -3 дБ от значения при  (коэффициент усиления становится меньше ), называется полосой пропускания системы . Смысл этой величины в том, что коэффициент усиления сигнала этой частоты по мощности в 2 раза меньше, чем коэффициент усиления постоянного сигнала.

Найдем коэффициент усиления, равный -3 дБ:

>> k 3 dB = 10^(-3/20);

Найдём индексы массива значений АЧХ, для которых коэффициент усиления не меньше -3 дБ от значения Aw (1) (при нулевой частоте):

>> ind = find(Aw >= k3dB*Aw(1));

Полосу пропускания вычислим как максимальную частоту, для которой коэффициент усиления больше или равен -3дБ:

>> B = max(w(ind));

Задание 2. Получение навыков работы в среде Scilab, исследование колебательного звена и интегрирующего звена.

Обратите внимание на построение графиков. Они должны выглядеть красиво и содержать всю необходимую информацию о процессах в системе. При необходимости выберите подходящее конечное время моделирования.