Матрицы и основные операции над ними

Понятие матрицы

Матрицей А размером m´n или просто (m´n)-матрицей называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа.

2 матрицы одной и той же размерностью равны, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц

Матрицу называют столбцевой матрицей, если она состоит из одного столбца, то есть имеет размерность m´1.

Матрица называется строчной, если она имеет размерность 1´n.

Диагональная матрица – это такая квадратная матрица, все элементы которой, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю. Главная диагональ квадратной матрицы – это элементы aii, где i=1, 2,…, m.

Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матрица называется нулевой. Если все элементы главной диагонали матрицы равны единице, то такая матрица называется единичной. Если все элементы главной диагонали матрицы равны одному и тому же числу, то такая матрица называется скалярной.

Квадратная матрица, все элементы ниже главной диагонали которой равны нулю, называется верхней треугольной матрицей. Квадратная матрица, все элементы выше главной диагонали которой равны нулю, называется нижней треугольной матрицей.

Квадратная матрица называется симметрической, если ее элементы удовлетворяют условию aij=aji.

Действия над матрицами

Суммой двух матриц A и B одной и той же размерности m´n называется матрица C размерности m´n, элементы которой находятся из условия cij=aij+bij.

Произведение матрицы A размерности m´n на число k – это такая матрица C размерности m´n, элементы которой находятся по формуле cij=k×aij.

Произведение согласованных матриц A размерностью m´n и B размерностью n´p называется матрица C размерностью m´p, элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на элементы j-ой строки матрицы B:

Транспонированием матрицы A называется матрица, у которой строки и столбцы поменялись местами.

Пусть A(t) – матрица m´n, элементы которой aij(t) является дифференцируемыми функциями скалярной переменной t. Производная от A(t) по переменной t определяется как

Подобно произведению от матрицы интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интегралов от элементов исходной матрицы:

Определитель квадратной матрицы A, записываемый как |A|, равен алгебраической сумме всех возможных произведений n элементов, содержащих лишь один элемент из каждой строки и столбца. При этом каждое из произведений положительно или отрицательно в соответствии со следующим правилом. Расположить все возможные произведения в порядке возрастания первых индексов, например, a13a22a31… Определить инверсию как расположение большего целого числа перед меньшим. Знак произведения является положительным, если число инверсий вторых индексов является четным; в противном случае он отрицательный. Например, последовательность 321 содержит три инверсии: 3 перед 2, 3 перед 1 и 2 перед 1.