Методы решения основных типов д ифференциальных уравнений

1-го порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

                                                                                       (4)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в правой их части находится произведение функций одна из которых зависит только от x, другая только от y.

Для того, чтобы найти решение уравнения (4), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Для разделения переменных в уравнении (4)  заменим  на

и умножим обе части уравнения на  

Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно,  и уравнения (4) находится почленным интегрированием:

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (4), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (4), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим  на  Разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

Отсюда  – общий интеграл данного уравнения. Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде

Ответ:

З а м е ч а н и е. Уравнение вида

                                                                   (5)

также является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (5) решается тем же способом, что и уравнение (4).

 

2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

                                                                                (6)

где  – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (6) является то, что искомая функция y и ее первая производная  входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются между собой, т.е. связаны линейно.

Для решения уравнения (6) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций, т.е. положим  Тогда  Подставив значения   y и  в уравнение (6), получим:   или  

                                                                          (7)

Если выбрать  так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.

                                                         ,                                    (8)

то вторая функция  должна удовлетворять уравнению

                                    (9)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (6) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (8) и (9). Общее решение уравнения (6) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (8) и общего решения уравнения (9):

                            (10)

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию  (задача Коши).

Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение в виде

Сравнивая его с уравнением (6), убеждаемся, что оно является линейным дифференциальным уравнением. Положим  Подставив y и   в уравнение, получим: , или        

                                                                                (*)

Найдем функцию  решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования: не С, а ).

Из последнего уравнения получаем:

 – общее решение, а при соответствующем подборе  получаем  – частное решение уравнения .

Подставим найденную функцию  в уравнение (*):  и найдем функцию  – общее решение этого уравнения. ,

откуда

 – общее решение уравнения .

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа  соответственно:

Подставляя найденное значение С   в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида

                            (11)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (6) и может быть решено тем же способом.

     Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

 

2.4.Однородные уравнения.

     Функция f (x, y) называется однородной измерения m, если

Дифференциальное уравнение вида 

P (x,y) dx+Q (x,y) dy = 0                           (12)

называется однородным, если P (x, y) и Q (x, y) –  однородные функции одного измерения.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

                              (13)

С помощью подстановки , т.е. y = tx однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го измерения, т.к. выполнено

.

Разрешим это уравнение относительно . Для этого запишем его в виде   и разделим обе части на xydx, заменяя при этом  на : .

Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:  

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (х). Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

     Поскольку функцию y (x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ:  – общий интеграл уравнения.