Решение логической задачи средствами алгебры логики

Пример 1 (условие задачи см в примере 1 раздела «Решение логической задачи с помощью рассуждений»)

В условии задачи приведены высказывания болельщиков о возможных победителях, известно, что каждый из них один раз сказал правду, а один раз ошибся. Решение задачи заключается в том, что необходимо найти истинное высказывание, отвечающее на вопрос задачи.

Введем буквенные обозначения всех простых высказываний, определяющих условие задачи:

T₁   – “Таня будет первой”;

W₂ – “Валя будет второй”;

T₂  – “Таня будет второй”;

D₃  – “ Даша будет третьей”;

A₂ – “ Алла будет второй”;

D₄  – “Даша будет четвертой”.

Запишем сложные высказывания болельщиков, учитывая, что каждый из них один раз был прав, а другой – ошибся.

Высказывание первого болельщика: «Первой будет Таня, Валя будет второй». Можно перефразировать это высказывание так: «Таня будет первой, а Валя не будет второй или Таня не будет первой, а Валя будет второй». Запишем данное высказывание по правилам алгебры логики: . Мы получили истинное высказывание, поэтому его можно приравнять 1 (1 – истина, 0 – ложь). .

Высказывание второго болельщика: «Второй будет Таня, Даша – третьей», т. е. .

Высказывание третьего болельщика: «Алла будет второй, Даша – четвертой», т. е.

 

Таким образом, мы получили систему логических уравнений:

 

В условии сказано, что в каждом предположении одно высказывание истинно, другое ложно. Следует учесть и то, что ни одно место не было разделено участниками. Это условие можно задать формулами:

A₂×W₂º0 или ,          (4)

T₂×A₂º0 или ,          (5)

T₂×W₂º0 или ,          (6)

 

То обстоятельство, что ни один участник не может занять два разных места, задано формулами (7) и (8).

D₃×D₄º0 или ,            (7)

T₁×T₂º0 или .            (8)

 

Система уравнений решается умножением одного уравнения на другое и нахождением истинного выражения. Уравнения (4) – (8) используем при упрощении логических выражений.

Умножив уравнение (1) на (2), получим (9):

 

 

Умножив уравнение (9) на (3), получим:

 

 

Ответ: Полученное выражение  свидетельствует о том, что Таня заняла первое место; Даша – третье; Алла – второе и Валя – четвертое.

Пример 2

Три подразделения А, В, С – торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказывали следующие предположения:

1. А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.

2. Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.

3. Для того, чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трёх предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

Решение

Рассмотрим простые высказывания:

А ={А получит максимальную прибыль},

В ={В получит максимальную прибыль},

С ={С получит максимальную прибыль}

Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами:

1) F 1 = A => B & C;

2) F 2 = A & C + A & C;

3) F 3 = C => B.

 

Теперь составим таблицу истинности для F 1, F 2, F 3.

 

A	B	C	F 1	F 2	F 3
0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1

 

Теперь вспомним, что ложным оказался один из прогнозов – F 1, F 2, F 3. Эта ситуация соответствует четвертой строке таблицы.

Ответ: В и С получат максимальную прибыль

Пример 3

По телевизору с иноптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра?

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

а ) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

A – «Ветра нет»

B – «Пасмурно»

С – «Дождь»

б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

        A → B &

 

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:

        С → B & A

 

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра

         B → C & A

 

в) Запишем произведение указанных функций:

 

F=(A→ B & ) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 

г) Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

 

F=(A→ B & ) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 

= (  v B & ) & (  v B & A) & (B v C & A) =

 

= (  v B & ) & (  v C & A) & (  v B & A) =

 

= (  &  v B &  &  v & C & A v B & & C & A) & (C v B & A) =

 

=  &  &(C v B& ) =A& &C v & &B&  =  &  &

 

д) Приравняем результат единице, т. е. наше выражение должно быть истинным:

F =  &  &  = 1

 

е) Проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

Поэтому:

 = 1;  = 1;  = 1;

 

Значит: A = 0;   B = 0;   C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.