Интервальная оценка показателей надежности

Количество статистических данных для оценки надежности, полученных в процессе эксплуатации, принципиально ограничено. Полученные по ограниченному объему информации точечные оценки могут оказаться весьма приближенными. Причем отклонения этих оценок от истинного значения оцениваемого параметра являются величинами случайными. Очевидно, что с увеличением числа наблюдений (отказов) случайная ошибка оценки показателей уменьшается. На основе опытных данных используется специальная методика оценки показателей надежности в определенном интервале возможных их значений. Предположим, что истинное значение средней наработки до отказа составляет Т₀, а средняя наработка до отказа определена по полученным отказам:

,

где n - количество отказов за время испытаний, t_i - наработка до i-го отказа. Чем меньше n тем больше расхождение между Т₀ и , то есть существует интервал расхождения. Найти точные границы, в пределах которых находится истинное значение искомой величины, не представляется возможным. Однако можно определить интервал ее возможных значений с некоторой доверительной вероятностью . При этом, чем больше доверительная вероятность , тем шире границы интервала и наоборот. В общем виде эта зависимость имеет запись

, (8.1)

где Т_н и Т_в - соответственно нижняя и верхняя границы средней наработки до отказа, где лежат и Т₀.

Вероятность того, что значение Т₀ выйдет за заданный интервал называется уровнем значимости:

(8.2)

Значения доверительных вероятностей  обычно принимают равными 0,9; 0,95; 0,99. Соответствующие им уровни значимости составят 0,1; 0,05; 0,01. Доверительная вероятность , определяемая выражением (8.1), характеризует степень достоверности результатов двусторонней (то есть с определением верхней и нижней границ) оценки.

Доверительный интервал для средней наработки до отказа при равных вероятностях  /2 выхода за правую (верхнюю) и левую (нижнюю) границы для экспоненциального распределения [11, 19] определяется по выражению

, (8.3)

где и - значения (хи-квадрат) при параметрах и 1 - ; 2r = k - число степеней свободы, для вероятностей P = и Р = 1 - соответственно.

Когда вычисляется только нижняя граница, то

. (8.4)

В выражениях (8.3) и (8.4) - суммарная наработка до отказа по отказам, зафиксированным во время эксперимента. Значения определяются по таблице П-1 квантилей распределения (хи-квадрат).

Таким образом, для заданных уровней значимости  и числа степеней свободы k по таблице (см. прил. 1) находят соответствующие значения , подставляют в выражение (8.3) и находят T_н и T_в. Величина  задается в зависимости от требований, предъявляемых к анализируемой системе. Как известно, для экспоненциального закона и , и выражения оценки надежности верхнего и нижнего значений вероятности безотказной работы имеют вид

, где ; (8.5)

, где .

Из рис. 8.2 видно, что по практическим соображениям более важно определить P_н(t). Если значение P_н(t) удовлетворяет заданному уровню надежности P_зад(t) на интервале времени от 0 до t, то истинное значение:

Это говорит о запасе надежности анализируемого устройства на интервале времени от 0 до t.

Для определения T_н и T_в по выражениям (8.3) и (8.4) необходима суммарная наработка . В табл. 8.1 приведены формулы вычислений суммарной наработки для наиболее распространенных планов проведения испытаний [3, 19].

Таблица 8.1

Определение суммарной наработки для

соответствующих планов испытаний

План испытаний	Суммарная наработка , ч
(NUr)	=
(NUT)	=
NU(r, T)	при = при =
(NRr)	=
(NRT)	= NT
NR(r, T)	при = при = NT

Примечание: - момент (время) r-го (последнего отказа), r - количество отказов; - время j-го отказа, 1  j  r.

Рассмотрим пример оценки T_н по [19].

Пример. В результате наблюдений за эксплуатацией неремонтируемых однотипных устройств зафиксированы 12 отказов. После двенадцатого отказа наблюдения прекращаются. Значения наработки до отказа (в часах): 58, 110, 117, 198, 387, 570, 610, 720, 798, 820, 840, 921.

Оценить среднюю наработку до отказа заданного типа устройства, предполагая экспоненциальный закон распределения времени наработки до отказа.

Решение.

Из условия задачи следует, что наблюдения организованы по плану (N, U, r); N = 100, = 921 ч. В табл. 8.1 по указанному плану находим суммарную наработку всех устройств:

;

;

Точечная оценка средней наработки до отказа

ч.

Зададимся доверительной вероятностью  = 0,9, тогда  = 0,1. Ограничимся односторонней оценкой (T_н). Нижнюю доверительную границу T_н при  = 0,1 определим по выражению (8.4) и по прил. 1:

ч.

Можно с 90%-й уверенностью утверждать, что истинное значение средней наработки до отказа не ниже 4950 ч, и по этой оценке можно определять и другие показатели надежности, например .

В данном пособии рассмотрен вопрос интервальной оценки параметров экспоненциального распределения. В специальной литературе, приведены примеры интервальной оценки для более сложных законов распределения (например, при нормальном законе распределения в [11, 12], при усеченном нормальном законе распределения в [19]).