Глава 1. Неопределенный интеграл

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [ a, b ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x)

Определение. Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

Таблица основных интегралов

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
					arcsin + C
		ex + C			ln
		sinx + C			-ln½cosx½+С
		-cosx + C			ln½sinx½+ C
		tgx + C
		-ctgx + C

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.

Пример.

Проверка:

Проверка:

2. Способ подстановки (замены переменных). Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример.

Проверка:

Проверка:

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Замечание: Если в подынтегральной функции имеется множитель вида , , , , , , то их удобно принимать в качестве , так как они легче дифференцируются.

Если подынтегральная функция имеет вид , , , , , то за удобно принимать , где - это некоторый многочлен, причем формулу интегрирования по частям необходимо применять столько раз, какова степень многочлена.

Пример.

Проверка:

Проверка:

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти интеграл следующих функций:

а). б). в). г).

д). е). ж). з).

и). к). л). м). н).

Решение:

а).

б) Воспользуемся подстановкой x=t². Тогда , получим:

 

в). Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

г).

д). За новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

е).

ж). Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

з). Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

и). За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя.

к).

л).

 

м).

н).

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных: