Инерции сечения. Общие свойства

Осевым моментом инерции сечения относительно какой-либо оси называется взятая по всей площади А сечениясумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до взятой оси (см. рис. 5.1), что выражается следующими интегралами:

,

Геометрическая характеристика, которая представляет собой взятую по всей площади А сечениясумму произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до двух данных взаимно перпендикулярных осей (см. рис. 5.1), называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х и у и определяется по формуле

Полярным моментом инерции сечения относительно начала системы координат хОу называется геометрическая характеристика, величина которой определяется равенством

,

где r – расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Согласно рис. 5.1 имеем:

,

тогда

,

 

Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции сечения относительно точки пересечения этих осей.

Общие свойства моментов инерции:

1) размерность моментов инерции [ L ⁴];

2) осевые и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равняться нулю.

 

Изменение моментов инерции при параллельном переносе

И повороте осей

Пусть моменты инерции J_x, J_y и J_xy для заданного сечения относительно старых осей x и y известны. Возьмем новую систему координат x ₁ О ₁ y ₁(рис. 5.2), оси которой параллельны старым осям. Обозначим через а и b координаты точки О ₁. Рассмотрим элементарную площадку dA, координаты которой в старой системе координат хОу равны x и y. В новой системе координат x ₁ О ₁ y ₁ они равны x ₁ = x – b и y ₁ = y – a.

 

Рис. 5.2. Схема для определения моментов инерции

сечения при параллельном переносе осей

 

Подставим значение y ₁ = y – a в выражение осевого момента инерции относительно оси x ₁, получим:

 

окончательно получим

Аналогично найдем

Подставляя значения х ₁ = x – b и y ₁ = y – a в выражение

получим формулу для определения центробежного момента инерции сечения относительно осей х ₁и у ₁:

 

 

Если оси х и у проходят через центр тяжести сечения и совпадают с центральными осями х_с и у_с, то статический момент S_x = S _y= 0. Формулы для определения моментов инерции относительно осей х ₁и у ₁ принимают вид:

 

Моменты инерции сечения сложной формы относительно любых осей определяются как сумма моментов инерции составляющих (простых) частей сечения относительно этих осей.

Относительно оси х:

относительно оси у:

где J_xciyci – центробежный момент инерции i- й части сечения относи-

тельно осей х_сi и y_ci, проходящих через ее центр тяжести параллельно осям х и y;

у_сi – расстояние между осями х_сi и х;

х_сi – расстояние между осями y_ci и у.

Возьмем новую систему координат x ₁ Оy ₁с началом в той же точке О, но повернутую относительно старой системы хОу на угол a (рис. 5.3). Угол a считаем положительным, если поворот на этот угол оси х до совмещения с осью х ₁ выполнен против часовой стрелки.

 

 

Рис. 5.3. Схема для определения моментов

инерции сечения при повороте осей

 

Рассмотрим элементарную площадку dA с координатами x и y в старой системе координат. Определим координаты x ₁и y ₁этой площадки в системе координат x ₁ Оy ₁. Из рис. 5.3 имеем: x ₁ = OB + BD, OB = x ´ cos α, BD = y ´ sin α, аналогично y ₁ = AC – DC, AC = y ´ cos α, DC = x ´ sin α, окончательно получим:

Подставим эти значения в формулы

 

Если сложить моменты инерции относительно осей x ₁и y ₁, то получим

J_{x 1} + J_{у 1} = J_x + J_у = сonst.

Следовательно, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при их повороте на любой угол.

При определении моментов инерции использовались следующие формулы: